行列式とテンソル積 - 数学大好き宣言！

テンソル積は、すべての多重線形写像のもとになるという性質がある。
行列式は列に関する多重線形性がある多重線形写像だから、テンソル積から構成することができる。

テンソル積の普遍性
$V_1, \cdots, V_n$ ：ベクトル空間とする。テンソル積 $\bigotimes_{k=1}^n V_k$ は、次の「普遍性」をもつ：
φを
$\phi:\prod_{k=1}^n V_k \rightarrow \bigotimes_{k=1}^n V_k, ~~(v_1,\cdots,v_n)\mapsto v_1\otimes\cdots\otimes v_n$
とすると、任意の多重線形写像 $f:\prod_{k=1}^n V_k \rightarrow W$ に対して、ある線形写像 $g:\bigotimes_{k=1}^n V_k \rightarrow W$ が存在して、 $f=g\circ \phi$ .
いわば、すべての多重線形写像はφを潰して得られる。

テンソル積から行列式をつくる
n次ベクトル空間の行列式 $\det({\bf v}_1,\cdots,{\bf v}_n)$ は、 $\prod_{k=1}^n V$ から係数体 $K$ への多重線形写像だから、上の方法で書ける。上のgを求めてみよう。
線形写像は基底の行き先で決まる。 $\bigotimes_{k=1}^n V$ の基底は, $V$ の基底を ${\bf e}_1,\cdots ,{\bf e}_n$ とすると、 ${\bf e}_{i_1}\otimes{\bf e}_{i_2}\otimes\cdots \otimes{\bf e}_{i_n}(i_1,\cdots ,i_n \in \{1,2,\cdots ,n\})$ だから、これらのgでの行き先を決めればいい。
$\{{\bf e}_{i_1},\cdots ,{\bf e}_{i_n}\}$ に同じものが含まれるとき、 $\det({\bf e}_{i_1},\cdots,{\bf e}_{i_n})=0$ だから、
$g({\bf e}_{i_1}\otimes\cdots \otimes{\bf e}_{i_n})=0$ とする。
$\{{\bf e}_{i_1},\cdots ,{\bf e}_{i_n}\}$ に同じものが含まれないとき、これは{1,2,...,n}の置換になる。このときは、行列式の定義により、置換をσとおくと $\det({\bf e}_{i_1},\cdots,{\bf e}_{i_n})=\operatorname{sgn} \sigma$ だから、 $g({\bf e}_{i_1}\otimes\cdots \otimes{\bf e}_{i_n})=\operatorname{sgn} \sigma$ とする。
以上でgが定まった。