ライプニッツの公式の二項定理(二項展開)による証明

ライプニッツの公式を、二項定理で証明する方法を思いついた。
偏微分による証明と、それを改良したテンソル積による証明を思いついた。

偏微分による証明
テンソル積による証明

偏微分による証明

$D(f)=\frac{d}{dx}f$ 、 $\phi (f(u,v))=f(x,x)$ 、
$D_u(f)=\frac{d}{du}f$ 、 $D_v(f)=\frac{d}{dv}f$
とする。
$(f(x)g(x))^{(n)}=D^n(f(x)g(x))=(D^n\circ \phi)(f(u)g(v))$
であり、連鎖律より
$(D\circ \phi)(f(u,v))=Df(x,x)=\phi(\frac{\partial f}{\partial u}(u,v)+\frac{\partial f}{\partial v}(u,v))$
$=(\phi \circ(D_u+D_v))f(x,y)$
つまり
$D\circ \phi=\phi\circ (D_u+D_v)$
よって
$(f(x)g(x))^{(n)}=(D^n\circ \phi)(f(u)g(v))=(\phi \circ(D_u+D_v)^n)(f(u)g(v))$
ここで、 $D_u\circ D_v=D_v\circ D_u$ だから、二項定理より

$\displaystyle (f(x)g(x))^{(n)}=(\phi \circ\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}D_u^{k} D_v^{n-k})(f(u)g(v))\\=\displaystyle\phi(\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)}(u)g^{(n-k)}(v))=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)}(x)g^{(n-k)}(x)$

組み合わせ数が出るところを、二項定理でクリアすることができた。

テンソル積による証明

以下、 $C^{\infty}({\mathbb R})$ を $\mathbb R$ 係数ベクトル空間と見なす。
$D:C^{\infty}({\mathbb R})\rightarrow C^{\infty}({\mathbb R})$ を微分する写像とし、
$\phi :C^{\infty}({\mathbb R})\otimes C^{\infty}({\mathbb R})\rightarrow C^{\infty}({\mathbb R})$ を $\phi(f\otimes g) = fg$ を満たす線形写像とし、
$D_1,D_2:C^{\infty}({\mathbb R})\otimes C^{\infty}({\mathbb R})\rightarrow C^{\infty}({\mathbb R})\otimes C^{\infty}({\mathbb R})$
をそれぞれ $D_1(f\otimes g)=f'\otimes g,~D_2(f\otimes g)=f\otimes g'$ を満たす線形写像とする。
このとき、 $D\circ\phi=\phi\circ(D_1+D_2)$ であり、 $D_1,D_2$ は可換だから、
$(fg)^{(n)}=(D^n\circ\phi)(f\otimes g)=(\phi\circ(D_1+D_2)^n)(f\otimes g)\\\displaystyle=(\phi \circ\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}D_1^{k} D_2^{n-k})(f\otimes g)\\=\displaystyle\phi(\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)}\otimes g^{(n-k)})=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)}g^{(n-k)}$