外積(ウェッジ積)と行列式 - 数学大好き宣言！

ベクトルのウェッジ積 $\land$ とは、双線型な演算で、 ${\bf v}\land{\bf v}=0$ を満たすもののこと。
このとき、 $0=({\bf v}+{\bf w})\land({\bf v}+{\bf w})$ $={\bf v}\land{\bf v}+{\bf v}\land{\bf w}+{\bf w}\land{\bf v}+{\bf w}\land{\bf w}={\bf v}\land{\bf w}+{\bf w}\land{\bf v}$ より、 ${\bf v}\land{\bf w}=-{\bf w}\land{\bf v}$ が成り立つ(交代性)。
二次元のとき、 ${\bf v}=a_1{\bf e}_1+a_2{\bf e}_2, {\bf v}'=b_1{\bf e}_1+b_2{\bf e}_2$ とおくと、
${\bf v}\land{\bf v'}\\=(a_1{\bf e}_1+a_2{\bf e}_2)\land(b_1{\bf e}_1+b_2{\bf e}_2)\\=a_1b_1{\bf e}_1\land{\bf e}_1+a_1b_2{\bf e}_1\land{\bf e}_2+a_2b_1{\bf e}_2\land{\bf e}_1+a_2b_2{\bf e}_2\land{\bf e}_2\\=(a_1b_2-a_2b_1){\bf e}_1\land{\bf e}_2\\=\det({\bf v}~{\bf v}'){\bf e}_1\land{\bf e}_2$

じつは一般に、n本のn次元ベクトル ${\bf v}_1,\cdots,{\bf v}_n$ について、
${\bf v}_1\land\cdots\land{\bf v}_n = \det({\bf v}_1,\cdots,{\bf v}_n){\bf e}_1\land\cdots\land{\bf e}_n$
が成り立つ。
これは、行列式は列に関する多重線形性, 交代性, そして $\det E_n = \det({\bf e}_1,\cdots,{\bf e}_n)=1$ で特徴付けることができる、という定理から分かる。