母関数：OGFとEGFの変換 - 数学大好き宣言！

$\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ を数列とする。
数列a_nのOGF(ordinary generating function)とは,
$F(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$ のこと。
数列a_nのEGF(exponential generating function)とは、
$\widehat{F}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n!}x^n$ のこと。
$F$ から $\hat{F}$ を、また $\hat{F}$ から $F$ を求めるには、次のようにする：
$\displaystyle F(x)=\int _{0}^{\infty }{\widehat {F}}(tx)e^{-t}dt$
$\widehat{F}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }F\left(xe^{-i \vartheta }\right)e^{e^{i \vartheta }}d\vartheta$
実際、
$\displaystyle \int _{0}^{\infty }(tx)^n e^{-t}dt = x^n\int _{0}^{\infty }t^n e^{-t}dt =x^n\Gamma(n+1)=n!x^n$ であるし、
置換積分でt=-e^{iθ}とおくと
${\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi } (xe^{-i \vartheta })^n e^{e^{i \vartheta }}d\vartheta$ $\displaystyle=x^n {\frac {1}{2\pi }}\int _C (-t)^{-n} e^{-t} \frac{i}{t}dt =x^n {\frac {i}{2\pi }}\int _C (-t)^{-(n+1)} e^{-t}dt$
(ただしCは、原点を反時計回りに一周する経路)
よってハンケルの積分表示よりこれは $x^n/\Gamma(n)＝x^n/n!$ である。

これらと積分の加法性から上の変換公式は導かれる。