8/7メモ

メモは大事だなあ。

・楕円曲線の有理点について。有理点Ｐがひとつあったら、加法をつかって２Ｐ、３Ｐ、・・・と有理点を作れるのだった。Ｐがｎ等分点ｎＰ＝∞でなければ、無限に有理点を作れるはず。さらに℘関数での一意化を考えると、ぐるっと廻ってくるというか、円のときみたいに稠密？に有理点をもつのではなかろうか。何か勘違いしてるかなあ。何かそういった定理があったような。

・忘れぬうちに書いとく！３次ガウス和を用いて、次のことが示される。p≡1(mod 3)のとき、4p=a²+27b²(ただしa≡1(mod 3))と表される。このときa,bは一意的。さらに驚くべきことに、射影曲線x³+y³+z³≡0(mod p)の解の個数は、先程のaを用いてp+a+1となる。gauss's theoremで載っていた。すごい！！気になる！！モジュラー性定理のあれにも似ているな！

・πが出てくる式はたくさんある。ζ(2),ウォリスの公式,ガウス積分など。これらはみなガンマ関数、三角関数、ゼータ関数の周りをまわっている。これは楕円関数の世界で類似をつくれるなあ。類似というか、πのでてくる理論を含むように一般化できるのではなかろうか。第二周期→∞みたいな感じで・・・。このあたりの話題はいつもワクワクする。多重三角関数ってやつかなあ。