modの指数を増やす多項式
以前この記事で→素数冪を法とした、多項式の反復合成 - 数学大好き宣言!
(fは多項式関数、pは素数、a,tは整数、kは自然数)
という定理を紹介した。
f'(a)≡0 (mod p)ならばこれは
となる。この式を言い換えると、「ならば
」
ということもできる。
こうしてf'(a)≡0 (mod p)のときには、fによって mod p^kの不等式をmod p^(k+1) の不等式に動かすことができるのだ。
この定理の具体例として「ならば」がある。
上のp^kからp^(k+1) への定理をもう少し強化してみよう。
次が言える:
「pを素数、を整係数多項式とする。整数が(kは自然数), (lは自然数でl ≤ k)を満たすならば、」
一気に指数をl増やせるようになったのが進歩。
なお、これはの一般化になっている。
証明:使うのは以前の記事でも用いた次の定理だ:
「整係数多項式f に対して、ある整係数多項式 g(x,y) が存在して
」
条件より(tはある整数)と書けるから、
を代入して
よって(sはある整数),なら