modの指数を増やす多項式 - 数学大好き宣言！

以前この記事で→素数冪を法とした、多項式の反復合成 - 数学大好き宣言！
$f\left(a+t p^{k}\right) \equiv f(a)+t f^{\prime}(a) p^{k}\mod p^{k+1}$
(fは多項式関数、pは素数、a,tは整数、ｋは自然数)
という定理を紹介した。
f'(a)≡0 (mod p)ならばこれは
$f\left(a+t p^{k}\right) \equiv f(a)\mod p^{k+1}$
となる。この式を言い換えると、「 $a\equiv b \mod p^k$ ならば
$f(a) \equiv f(b)\mod p^{k+1}$ 」
ということもできる。
こうしてf'(a)≡0 (mod p)のときには、fによって mod p^kの不等式をmod p^(k+1) の不等式に動かすことができるのだ。
この定理の具体例として「 $a≡b \mod p^k$ ならば $a^p≡b^p \mod p^{k+1}$ 」がある。

上のp^kからp^(k+1) への定理をもう少し強化してみよう。
次が言える：
「pを素数、 $f$ を整係数多項式とする。整数 $a,b$ が $a≡b \mod p^{k}$ (kは自然数), $f'(a)≡0 \mod p^{l}$ (lは自然数でl ≤ k)を満たすならば、 $f(a)\equiv f(b) \mod p^{k+l}$ 」

一気に指数をl増やせるようになったのが進歩。
なお、これは $a≡b \mod p^k \Rightarrow a^{p^l}≡b^{p^l} \mod p^{k+l}$ の一般化になっている。

証明：使うのは以前の記事でも用いた次の定理だ：
「整係数多項式f に対して、ある整係数多項式 g(x,y) が存在して
$f(x+y)=f(x)+f^{\prime}(x) y+g(x, y) y^{2}$ 」
条件より $b=a+tp^k$ (tはある整数)と書けるから、
$x=a, y=tp^k$ を代入して
$f(b)=f\left(a+t p^{k}\right) = f(a)+t p^k f^{\prime}(a) + (t^2 p^{2k}) g(a,tp^k)$
よって $f'(a)=sp^l$ (sはある整数), $l \leq k$ なら
$f\left(a+t p^{k}\right) = f(a)+st p^{k+l} + (t^2 p^{2k}) g(a,tp^k)$
$\equiv f(a) \mod p^{k+l}$