ヘンゼルの補題
:係数の多項式
とする。
を初項とする数列を、
で定める。
定理
(1)なら、数列は任意のnで
①
②
③
を満たす。
(2) なら、はあるp進整数に収束し、
証明(1)数学的帰納法で示す。
n=0のとき
① で、 だから、.
よって.
② だから .
③仮定より成り立つ。
n=k+1 のとき
① で、帰納法の仮定より だから、. よって .
よって.
②多項式のテイラー展開より、
(は係数多項式)と書ける。
を代入して
.
だから、.
より
だから、
.
③ であり、
より . よって
.よって
.
なら、
だから、
.
(2)
(1)より、のとき、
よって だから、
はコーシー列であり、収束する。
だから極限の性質より.