p進解析(2)冪級数の原点での連続性

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pを素数、 $a_k$ をp進数列とする。
$S_n=S_n(\{a_k\}_k,t)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_k t^k$ が $t\in p^v {\mathbb Z}_p$ (vはある整数)のとき収束すれば、
$p^v {\mathbb Z}_p$ から ${\mathbb Q}_p$ への関数 $f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty} S_n(\{a_k\}_k,x)$ が定まる。

定理： $f(x)$ はx=0で連続である。
証明： $f(0)= a_0$ だから、 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x) = a_0$ を示せばよい。
rを $0\lt |r|\leq p^{-v}$ を満たすあるp進数とする。 $|z| \leq |r|$ のとき
$|f(x)-a_0|=|\lim_{n\rightarrow \infty} \displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k x^k | \leq \lim_{n\rightarrow \infty}\max\{ |a_k||x|^k | 1\leq k \leq n \}$
$= \lim_{n\rightarrow \infty}\max\{ |a_k||r|^k |\frac{x}{r}|^k | 1\leq k \leq n \}$
$|\frac{x}{r}|\leq 1$ だから $|\frac{x}{r}|^k\leq \frac{|x|}{|r|}$ . よって
$|f(x)-a_0|\leq \lim_{n\rightarrow \infty}\max\{ |a_k||r|^k \frac{|x|}{|r|} | 1\leq k \leq n \}$
$= \frac{|x|}{|r|} \lim_{n\rightarrow \infty} \max\{ |a_k||r|^k | 1\leq k \leq n \}$
$|r|\leq p^{-v}$ より $\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} a_k r^k$ は収束するから、 $\lim_{n \rightarrow \infty}|a_k r^k| = 0$
よって $|a_k r^k|$ は有界だから、 $\lim_{n\rightarrow \infty} \max\{ |a_k||r|^k | 1\leq k \leq n \}$ は有界。よって $x\rightarrow 0$ のとき $\frac{|x|}{|r|} \lim_{n\rightarrow \infty} \max\{ |a_k||r|^k | 1\leq k \leq n \}$ は0に収束するから、
$|f(x)-a_0|$ も0に収束する。
よって $\lim _{x \rightarrow 0} f(x) = a_0$