p進整数環のヘンゼルの補題

ヘンゼルとグレーテル。

ℤₚをp進整数環とする。f(x)をℤₚ係数の多項式とする。
xₖ∊ℤₚが、f(xₖ)≡0(mod pᵏ), f'(xₖ)≢0(mod p) を満たしているとする。
このとき、あるxₖ₊₁∊ℤₚで、
xₖ≡xₖ₊₁(mod pᵏ),
f'(xₖ₊₁)≢0(mod p),
f(xₖ₊₁)≡0(mod pᵏ⁺¹)
を満たすものが存在する。
(証明)
f'(xₖ)≢0(mod p) より 1/f(xₖ)∊ℤₚ だから、
xₖ₊₁=xₖ - f(xₖ)/f'(xₖ) とおく。これが条件を満たすことを示す。
まずf(xₖ)≡0(mod pᵏ) より xₖ≡xₖ₊₁(mod pᵏ).
よって xₖ≡xₖ₊₁(mod p) だから f'(xₖ₊₁)≡f'(xₖ)≢0(mod p)
そして、多項式の割り算よりℤₚ多項式g(X)が存在して
f(xₖ₊₁)=f(xₖ) + (xₖ₊₁ - xₖ)f'(xₖ) + (xₖ₊₁ - xₖ)²g(xₖ)
=f(xₖ) - f(xₖ) - g(xₖ)(f(xₖ)/f'(xₖ))² = g(xₖ)(f(xₖ)/f'(xₖ))²
よって f(xₖ)≡0(mod pᵏ) より f(xₖ₊₁)≡0(mod pᵏ⁺¹) □

さて、xₖ≡xₖ₊₁(mod pᵏ) より、自然数m,n (m>n) に対して,
pⁿを法としてxₙ≡xₙ₊₁≡xₙ₊₂≡…≡xₘ　よって|xₘ - xₙ|ₚ ≤ p⁻ⁿ
よってxₖ はコーシー列だから収束する。
収束先をx とおくと、極限の性質より
xₖ≡x(mod pᵏ),
f(x)=0 を満たす。
よって次が言える：
ℤₚをp進整数環とする。f(x)をℤₚ係数の多項式とする。
x₀∊ℤₚが、f(x₀)≡0(mod pᵏ), f'(x₀)≢0(mod p) を満たしているとする。
このとき、あるx∊ℤₚで、
x₀≡x(mod p),
f(x)=0
を満たすものが存在する。

これもヘンゼルの補題と呼ばれ、解の存在を示してくれる。

エンゼルクリーム。ヘンゼルの補題を見るたびに思い出す。