メモ
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21時頃
・1より大きい実代数的数であって、自分以外の代数共役の絶対値が１より小さくなっているようなもののことを、Pisot数という。フィボナッチ数列の前後比が(1+√5)/2に近づいたり、(1+√5)/2の累乗がどんどん整数に近づく現象が一般化できる。Pisot–Vijayaraghavan 数、PV number などとも言う。おもしろい性質をもち、タイリングなどに使えるという。
・オイラーの好適な数(Idoneal number, numerus idoneus)とは、正の整数Dで、x² ± Dy² (x²はDy² と互いに素) と 一意に表現できるようなどんな整数も、素数の累乗か素数の累乗の2倍になるようなものを言う。簡単な判定法があるらしく、オイラーはこれを使って巨大素数をたくさん見つけたらしい。A most easy method for finding many very large prime numbers - CERN Document Server ここに方法が書いてある(オイラーの論文の英訳?)のだが、よくわからない。
・n²+n+41は、nが0から40のとき値がすべて素数になる。このような多項式は他にもいろいろあるらしい。
Prime-Generating Polynomial -- from Wolfram MathWorld ここにたくさん載っている。3次以上もあるのがおもしろい。単数が少ないことを使う？ので虚２次体だけだと思っていたのだが。理屈が知りたいのだが、引用元がうまく見つけられない。
・教授の方の紹介に、専門は「代数群」とたまに書かれているが、代数群の理論って何だろう？整数論の１分野？らしいが、謎。代数群と整数論 これを読めばわかるだろうか。
22時頃
・Untitled Document 津山高専の数学クラブの活動記録。「PV number によるファレイ空間の結晶理論」に、pisot数が出てくるようなので気になる。他にもいくつか気になるものが。グラフの閉曲面への辺の交わらない埋め込みなど気になる。
・第3回 「挑戦し、極める」飯高 教授、秋山 教授 | 理学部・自然科学研究科について-サイエンスインタビュー | 学習院大学理学部 より飯高先生(代数幾何の研究者)の言葉を引用：
「抽象的な現代数学の中から一部分を抜き出して具体的な形にすると初等的に意味のある計算問題ができる。意味のある計算を繰り返すうちに数学的対象の本当の性質が見えてくる。 これが、「数学がわかった」という感覚、小平邦彦先生（飯高先生の師、フィールズ賞受賞者）のおっしゃった『数覚』を育むことになるのだと思います。 理想的な数学教育というのは、そういう意味のある計算問題が提示できる、つまり現代数学にある程度の理解があってそれを初等的な形に応用できることだと思うんです。」
「実際の研究では足し算と掛け算ばかりですよ。ときどき微分とかしますが、扱うのは多項式ですから簡単です。とても抽象的で難しそうな数学も、ある個別の問題に適用すると最終的には高校生がやるような計算になります。 そんな計算を何度も何度も繰り返すうちに理論というものができあがっていくんです。」なるほどなぁ。
・fをℚᵃˡᵍ (ℚの代数閉包) を係数とする多項式とする。α∊ℚᵃˡᵍ, fⁿ(α)=α とし(fⁿはfのn回合成)、ｎはそのようになる最小の自然数とする。O(α)={α, f(α), … , fⁿ⁻¹(α)} をαの周期系とよぶ。 λ = (fⁿ)'(α) (形式的微分) とする。λが１の冪根のとき、αを放物的周期点と呼ぶ。次のことが成り立つという：
１．放物的周期点の集合は、方程式族{fⁿ(x)-x=0 | nは自然数}の重解の集合に一致する。
２．ｆがｄ次のとき、放物的周期系の数はｄ－１個以下である。
後者の証明が特にむずかしい。理屈上は純代数的に証明できるはず。
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・素数生成多項式 は 数学オリンピックに出たことがある。「を
以上の整数とする．
をみたす任意の整数
に対して，
が素数ならば，
をみたす任意の整数
に対して，
は素数であることを示せ．(1987年)」
・ヘッケ作用素の詳しい解説→ Lectures on Modular Forms and Hecke Operators - William Stein
