自然数の素数冪乗 a^(p^n) - 数学大好き宣言！

pを素数とする。
(定理1)a≡b (mod pⁿ) のとき、aᵖ≡bᵖ (mod pⁿ⁺¹)
証明:
a=b+tpⁿ と書けるから、
aᵖ=(b+tpⁿ)ᵖ=bᵖ + pbᵖ⁻¹(tpⁿ) + ₚC₂bᵖ⁻²(tpⁿ)² + ・・・
　≡bᵖ (mod pⁿ⁺¹)

繰り返し適用してみよう。
$a≡b\mod p$ のとき、 $a^p≡b^p \mod p^2$
よって $(a^p)^p≡(b^p)^p \mod p^3$
よって $((a^p)^p)^p≡((b^p)^p)^p \mod p^4$
$\vdots$
よって $a^{p^n}≡b^{p^n}\mod p^{n+1}$
(定理2) $a≡b\mod p$ のとき、
任意の自然数nで $a^{p^n}≡b^{p^n}\mod p^{n+1}$

応用１：フェルマーの小定理の拡張
$a\not≡0\mod p$ のとき、 $a^{p^n-p^{n-1}}≡1\mod p^n$
証明：
$a\not≡0\mod p$ より、 $a^{p-1}≡1\mod p$ だから、定理2より
$(a^{p-1})^{p^{n-1}}≡1^{p^{n-1}}≡1\mod p^n$ 　よって
$a^{p^n-p^{n-1}}≡1\mod p^n$

応用２：
任意の整数aについて、数列 $\{a^{p^n}\}$ はp進的に収束する。
証明：コーシー列であることを示す。
任意にε>0 をとる。Nを、 $p^{-N}\lt \varepsilon$ を満たす自然数とする。
m,n≥N, m>n とする。
$a^p≡a \mod p$ 　だから、
$a^{p^{m-n}}≡a \mod p$
よって定理２より
$(a^{p^{m-n}})^{p^n}≡a^{p^n} \mod p^{n+1}$
つまり $a^{p^m}≡a^{p^n} \mod p^{n+1}$
よって $|a^{p^m}-a^{p^n}|_p\leq p^{-(n+1)}\lt p^{-N}\lt \varepsilon$ .
よってコーシー列だから収束する。□