【個人的メモ】勉強したい数学まとめ

いま興味をもっていること。随時更新したい。

・虚数乗法、志村の周期記号
・ガンマ関数(の有理値)とは何なのか。
多変数ベータ関数の有理値がガンマの積に分解することを、直接代数的に示せるか？
・ガウス和、ヤコビ和とは何なのか。フェルマー多様体のF_q点の個数を与えるのは分かるが、周期積分のような何かなのか。
・周期(コホモロジーの)
・グロタンディークの周期予想
・多重ゼータ関数は周期積分だから、その関係式は積分変換で出ることが予想される。これは(代数)幾何的にはどうなっているのか。
・モジュラー形式は微分形式らしい。でも勿論モジュラー形式は基本領域のなすリーマン面上の関数ではない。どういう定義なのだろう。上半平面の商になっていることまで考えず保型形式が定義できるなら凄い。
・楕円シグマ関数は素因子と思えるがなぜなのか。テータ関数も因子なのか。
・テータ関数は保型因子というらしい。これは代数幾何の因子と関係するのか？
・xy=1が群C^{×}の構造を持つのがわからない。楕円曲線の群構造は因子類群だが、xy=1は球面と有理同値だから、その因子類群は自明になってしまうはず。どういう代数的操作で得られるんだろう。
・望月先生のモチーフの解説を理解できるようになりたい。上にある周期の理解と、エタールコホモロジーを勉強しないといけない。
・ガウス整数の虚数乗法、等分点拡大のガロア群がZ[i]/pZ[i]の部分群なのは分かるが、一致することが示せない。既約性と関係する。どうやって示すのか？ガウス和で解の個数を求められることを利用できないか。
・相互法則を(p/l)=(l/p)って書いたりするが、l進表現の何かと思えるのか。
・多元環の整数論。どれくらい代数体の類似ができるのか。四元数のゼータ関数はどんな分解をするか。また、ガロア表現のゼータ関数となるか。四元数のゼータ関数を用いて、相互法則を証明できると聞いたが、どんな仕組みなのか。分岐不分岐などの用語があるようだが、代数体の場合のどのような一般化になっているのか。
・代数群の整数論。多元環の乗法群は代数群となるが、多元環の整数論は代数群の整数論に含まれるか。どんなゼータ関数があるのか。一般のｎ元二次形式にも種や類が定義されるらしく、また、代数群にも種が定義されるらしが、関係するのか。二元二次の場合の定義と一致するか。
・類体論、二次体の種の理論。三元二次の局所大域原理との関係。算術級数定理を使わない、ガウスの三元二次形式による証明とはどんなものか。高木代数的整数論の類体論の証明と、高木初等整数論講義の種の理論の証明にはとても類似性がある。実際どれくらい一致しているか。類体論の現代風の証明というものと、高木本の類体論の証明はどんな関係にあるのか。高木の証明では多元環なんて出てこなかったが、どう出てくるのか。ガウスの三元二次形式による証明が算術級数定理を使わないのは、類体論のゼータ関数を使わない証明が見つかったことと似ているように思えるが、関係があるのか。
・代数体はコホモロジー的に３次元多様体のようらしい。
・電磁気と整数論の類似。
・総実体の類体構成問題。新谷スターク予想、新谷のゼータ関数の分解。スターク予想自体も分かりたい。また、これらや多重三角関数と、テータ関数やアーベル関数の関係。
・クロネッカーの極限公式の証明について。極限公式はゼータ正規化積の一種と思えて、通常の積と思うととてもシンプルな公式になっている。これを利用するような綺麗な証明はないか。また、うまく比をとれば収束する無限積の公式とできるはずで、これならシンプルな証明ができたりしないか。
・テータ関数、アーベル関数の、ペー関数に類似した無限乗積表示はあるか。
・ヤコビ多様体、トポロジー的にもおもしろい気がするが、何が起きているのか。
・楕円ラムダ関数がSL(2,Z)でなくΓ(2)のモジュラー形式になるのは何故か。
・y^2=x^4+1のように、射影代数多様体に特異点があると何がまずいのか。ヤコビ多様体などでまずいことが起きるのか。
・クロネッカーの合同関係式あたりの話。虚数乗法の数論との関係。
・スペクトル分解定理の、vN環的な証明ができないか。通常はT→C[T]→{f(T)|f\in C^0}→{f(T)|f:可積分}と進めて射影を得るが、C[T]の二重可換子をとってもvN環(=射影を豊富にもつらしい)を得ることができる。
・L^∞(Ω)から測度空間Ωをある意味復元できることの、射影を使った証明。証明自体は見つけたのだが、C*環から位相空間を復元する定理をL^∞(Ω)に適用すると、ストーン空間になる、という証明しか見つからなかった。
・測度論で、連続関数の空間の汎関数は、デルタ関数的な部分と、測度の部分に分解できると聞いた。一般の超関数にもこのような分解があるのだろうか。
・関数解析。スペクトル分解とスペクトルの関係を知りたい(R全体で積分するバージョンしか知らない)
・フーリエ変換は調和振動子と関係があるようだ。しかしなぜ調和振動子なのか。f(x)+f(d/dx)は何でもフーリエ変換と可換なはずだ。なぜx^2+(d/dx)^2が特別なのだろう。
・シュレーディンガー方程式、離散スペクトルの場合。V→∞なら離散になることの証明。固有値分布のワイルの公式。減少的なら束縛状態が有限で...も知りたい。
・球極座標のラプラシアンはなぜ、シンプルにまとまるのか。(ちょっと複雑だが、あり得る項数よりはずっと少ない。)またなぜ固有値問題が変数分離法で解けるのか。
・二次元の△f=0をコーシーリーマン方程式に分解するのも、ディラック方程式らしい？
・直積分(直和の積分版)。波動方程式などは、これをうまく使えばシンプルに解けそうだがどうか。
・行列の摂動を代数幾何的に。
・モジュラー曲線。モジュラー曲線から楕円曲線を得る方法。そのようにして得た楕円曲線のゼータ関数が関数等式を満たすこと。これにはヘッケ作用素とフロベニウスの関係を言わないといけないらしい。
・積分する作用素は関数空間の双対空間の元だから、超関数と思える。だからストークスの定理は超関数の微分公式だと思えるはず。
・ナブラは色々と良い公式を満たすが、統一的に理解できないか。
・「自明なテータ関数」がガウス分布と似ているようだがなぜか。また一番基本のテータ関数は、円周の熱核になっているようだが、深い意味はあるか。代数的性質と微分方程式は関係するか？
・物理のネーターの定理が知りたい。
・アデール上の解析学。テータ、ゼータ関数。
・群の表現論とスペクトル分解定理の関係。後者が前者に含まれるはず(前者は後者の一般化になっているはず)。なぜなら、自己共役作用素Aに対してR→B(H),t\mapsto e^{itA}はRのユニタリ表現になっているから。