8/31メモ

節目なので振り返ってみる。

・記事数が随分増えたが、たくさん勉強した証ではなく、日記が多いだけ。

・とはいえ数学は高い更新ペースというのは無理だ。勉強には時間がかかるし、勉強したことを書けるほど理解する、嚙み砕く時間もかなりかかる。面白いことを見つけて、それを一つの記事に書くスタイルでも、計算結果や定理、証明などをまとめるのは意外に時間がかかる。

・しかしオイラーが現代に甦ったら、余裕で毎日更新可能だ！（オイラーはブログでなく論文で、数学者だから論文書くのが仕事という違いはある。）オイラーは年間平均800ページも論文を書いており、１日平均2ページ以上だ！30分で論文を書き上げたという逸話もあるという。オイラーのこの多産さや、他にも物理のニュートンの集中力の逸話などを聞くと、自分ももうちょっとは頑張れる気がしてくる。

・テーマ記事の数は勉強の証。たくさん書こう！

・1記事1テーマと違って、箇条書きで日記メモをつけるスタイルは気楽でいい。また実用的だ。備忘録として大活躍してくれる。探し回ったり、結局見つからなかったりすることが無くなった。

↓いつもの↓

・ゼータ関数周辺や楕円関数周辺など、解析の部分は、式をいじっているだけで無限に数学できそうだが、それだけではどうかと思う。

・新しく勉強したことの中から、二次体の整数論、イデアル類群、局所化、分岐など分かりやすくいじりやすい部分が降りてきて、楕円関数周辺のように遊べる土壌となる、しかしようわからん部分は永遠にわからない、みたいな、ファストフード的、いつまでも離乳食みたいな学習ができあがりつつある。よくない。もったいない。遊べる部分はいいのだが。

・それだから、pdfで読んだこととかもすぐ忘れてしまうことになる。基本群計算できません。多面体のホモロジーも忘れてしまった。ルベーグ積分も今できません。

・ベルヌーイ数の、℘関数のローラン展開係数での類似を作りたい。

・η(6τ)η(18τ)の展開係数は乗法的。高度な理論を使わず証明ができるだろう。そんなことに意味があるかは別にして、楽しいじゃないか。

・a²+27b²=pはタイヘン。しかしa²+27b²=4pはどうも楽勝のようだ。なんで？イデアル類群だな。ちゃんと説明したい。

・有理数体も射影化したら、整数の無限素点なんかも分かるようになるんだろうか。

・ゼータ関数の類似をいろいろ計算しても、特殊値が何に使えるの？と考えてみると、素朴には類数公式があり、またベルヌーイ数の因数は正則素数と関わりがある。どうもこのベルヌーイ数のような理論は、「岩澤理論」で深められるらしい。さぞ美しかろう。

・このような幾つかの公式をヒントに、ゼータ関数の類似物をℂ(x)などの簡素な体で作れないかと考えている。

・とにかく類似がつくりたい。ℂ(x)は幾何的解釈がとても効くので重要だ。他にも、より簡素な類似がつくれないかなあと夢想。類数や分岐、ガロア理論、判別式などの類似を含む、簡素な理論が。

・ガロア表現がわかる←→整数論がわかる、の意味が理解できそう。つまり解が表現を与えるということだろう。もうあと１歩。

・テータ関数の指数部分、おそらくいつでも二次。変数が増えることがあるだけで。リーマンテータ関数まで拡張してもそうだろう。

・整係数イデアルを求める問題、分岐理論の類似にもちこんで、デデキントの判別定理の類似で解けないだろうか。似てると思うのだが。

・数論的ゼータ関数で、ハッセヴェイユゼータ関数の定義もスッキリして良い。デデキントゼータ関数も含んでおりすごい。これ一つで数論のゼータ関数は丸わかりだ。代数体のゼータ関数と代数曲線のゼータ関数を統一できるのは本当にえらい。ずっと、何で別物なのに同じような現象が？と思っていたのが解消した。

・グラフラプラシアンの作用を勉強した。これは面白い！よく考えるよな。

・1/zは原点を除いて正則だけど、コーシーリーマンを計算してみたって満たさない。原点さえ無ければ正則なんだ、ということをどう求めるか。→コーシーの積分公式。

・圏論勉強しないとってずっと思っている。まず第一に、群環体と一緒で、言葉として知っておくべきなのだろうから。第二に、興味のある分野の、スキーム論やコホモロジーではふんだんに使われるようだから(いつそこまで到達するのだろう・・・？テンソル積も知らないのに？)。

・複素解析では、有理関数とは、リーマン球の有限個の点を除き正則というだけではだめで、特異点は極であるという条件が必要だった。事実、指数関数は∞をのぞき正則だが、もちろん有理関数でない。その結果、∞で真性特異点をもつ。ではグラフの調和関数では？有理関数にあたるものはあるのか？

・英語wikiによると、ブニャコフスキー予想は、2次以上のケースは、解かれているものゼロ！

・an+bの一般化という意味では、誤った方向の一般化だったということなのだろう。an+bってのはχ(n)の値を指定するもののこと。指標のことばでnの情報を言わないといけないんだろう。とにかく、ゼータ関数(ディリクレ級数)に出てこないとダメだ。出てこないからダメだ。予想としてはおもしろいんだがなあ。

・リーマン面の理論をふんだんに使って、楕円関数論(の、代数的な部分)を書き直したい。どれほど見通しのよくなることだろう。楕円関数の入門は山ほどあるのに、三位一体となると全然ない現状よくない。

・アフィンスキーム普及しろー。