9/1メモ
9月になった。
・.よって局所環ℤ₃[2^(1/3)]で３＝
。割り算自由な局所環便利、と思いきや、類数１で、
も単数だった。
・完備離散付値環の素イデアル分解はどうなる？べきにしか分解しないなら、それで分岐のことがわかるのか？まだまだ局所的テクニックは使いこなせてない。
・類体論：一般化イデアル類群が、指定の素イデアルが分岐する拡大を制御する。すごく"形の理論"っぽいし、そこの対応を考えるというのはとてもすごいんじゃないか？と思う。分岐、悪い還元といった特殊現象が、全体を制御しているというのがカッコイイじゃないか。いやなものが重要なものに一転。
・一般ベルヌーイ数というのがあるらしい。ディリクレ指標つきバージョン。有理数ではなく、代数的数とのこと。ベルヌーイ数とどれくらい類似の性質を持つだろうか。特殊値解釈はあるんだろうか。
・類数で楕円曲線の整数解がわかるのか、楕円曲線の整数解から類数がわかると言うべきなのか。
・類数は整数の性質にとても顕著に現れる数だということはわかってきた。べき乗の入った不定方程式の整数解に関係する。類数１というのは数の性質をかなり具体的に大きく制限する。合同式の解が実際の解になるなど。逆に単純な計算結果が、類数の因数の候補を簡単に絞る。それこそ楕円曲線の整数点とか、x^2+ny^2と書けるかの観察など。
・今、類数が分かっているとき、素数ｐの因数の素イデアル𝖕のイデアル類を知る方法は？
・おのおののｐの分解可能性やどれだけ分解するかは局所環でわかると。問題を局所に解体できるということだ。3=(1/2)(1+√-5)(1-√-5)だ。でもこの(1/2)は取れますか、(1/2)の代わりにどんな数が現れる可能性がありますか、などの部分は、全部イデアル類に押し付ける。
・なぜζが素数の個数関数に関係しますか→かんたん。なぜゼータ関数のゼロ点の位置、分布が素数関数の漸近挙動を制御しますか→知らない。とても不思議に感じる。
