メモ(2/15~)

2/15
・最大不分岐アーベル拡大は有限次元だが、ある素数ｐの分岐だけは許したアーベル拡大は無限にある。(だから調べ甲斐がある？)
・f(x1,x2,...xn)をp進整数係数の多項式とし、a_kをZ/(p^k)Z でのf=0の解の個数とする。このとき形式べき級数Σa_k*t^kを井草・ポアンカレ級数というらしい。kは１～∞でとるので、定数項はない。これはどんなfでも有理関数になる(例えばt+t^2+...=t/(1-t)のように)ことを、ボレビッチとシャハレビッチが予想し、井草が示したらしい。井草ゼータ関数の定義を見れば、井草ゼータ関数との関係はすぐにわかる。ホモロジーのポアンカレ多項式や、次数付きベクトル空間のヒルベルト・ポアンカレ級数との関係があるのかどうかは分からない。多分ないだろう。
・気になる本↓
www.nippyo.co.jp
これに出てくるポアンカレの和はホモロジーのほうか。目次にホモロジーの記号がある。
・Gをアーベル群とし、この上の複素数値関数全体をℂ(G)とおく。これはℂベクトル空間。Ｇ＾をＧの指標全体とすると、これは(ある内積において)ℂ(G)の正規直交基底をなす。Ｇにℝ/Zをとるとよく知られたフーリエ変換になる。G=Z/pZ(演算は加法)とするとＧ＾＝{ζ^a | ζ=exp(2iπ/p), a=0,1,...p-1}であり、これを用いて、Z/pZの乗法的指標を展開すると、その係数にガウス和が現れる。上の本の「mod pのフーリエ解析」とは多分これのこと。
・Eisensteinの既約判定法はp進体でも(素数にｐを選んだときのが)成り立つらしい。
・ガウス和で合同式の解の個数を評価できるらしい。
・x^2-p=0はmod pでは解をもつが、ｐ進数体では解をもたない。
・アデール環やイデール群上で調和解析をすることで、L関数の解析接続、関数等式などが証明できるらしい。
(2/19)
・前に書いたこの記事
バーゼル問題の楕円関数類似 - 数学大好き宣言！
のタイトルを「バーゼル問題類似」としているが、バーゼル問題はnを1から∞で足しているのに対し、この記事の定理では(0,0)を除くすべての格子点で足しているので正しくは類似と言えないかもしれない。ただ例えばω_１＝１，ω_２＝iの場合は全格子の1/4の部分での和のi^k倍の集まりと見なせる。その場合その1/4の部分での和をバーゼル問題類似と呼ぶことができる。