2021-12-13 素数冪を法とした、多項式の反復合成 数学 まずは次の定理を示す。 fを整係数多項式、pを素数、a,tを整数、kを自然数とすると、 (証明) 多項式のテイラー展開より、ある整係数多項式g(x,y)が存在して、 あとはx=a, y=tpᵏ を代入すれば よって例えば 繰り返し適用して、任意の自然数nに対して aが法pᵏで周期mの周期点、つまりfᵐ(a)≡a(mod pᵏ)で、 なおかつf'(a)≢0(mod p) なら、フェルマーの小定理より(f'(a))ᵖ⁻¹=1+pb(bは整数) だから、 よってa+tpᵏは任意のtで周期m(p-1) の周期点である。