9/5,6メモ

・代数的整数論は一部の問題にとてもつかいやすいし、使うことでまた理解を深められる。

・数学の長い証明や難しい定理の連続も、イメージや意図や方針がわかっていれば、割合分かりやすい。

・直感と直感を実現する技巧は分離したいということか。

・pのℤ[α]での分解と、α(f(x)=0の根)が𝔽pにあるかの対応について。αが𝔽pにあればf(α)=pkとおくと局所環ℤp[α]でp=f(α)/k(kがpの倍数でないようにすれば)。この分解よりpが素イデアル分解することがわかる？いろいろと細かい点が気になる。とにかくf(α)=pkとできることから話を展開できるだろう。

・ℤｐって書き方やめよう。積閉集合をＳとしてＳ^{-1}Aで局所化を表そう。こういう「意識のしかたの違い」は何気に重要と思われる。こういうことは文献など他の人のから学ぶしかないし、細かい意識の点でも教科書の影響というものは大きいと感じる。

・二次多項式に整数を代入した値の因数は、二次体の理論で大きく絞り込むことができる。素数判定に有用な性質。n^2+n+41がn=41の先も素数率高いの謎とか思ってたが、よく考えたら単純なことだ。こんな簡単なことに気付かなかったなんて。

・合同式の解の有無の判定を使えばいいということ。アーベル拡大では相互法則より簡単にわかる。

・n^2+n+41のたぐいの名称で一番よく使われているのは「オイラーの幸運数」のようだ。

・整閉を生成する多項式だからうまくいっているが、そうでないときどう考えることができるのか、そもそもうまく考えることができるのか、気になる。→ちょっとだけ局所化した環をℤの代わりにすれば、整拡大にできるだろう。そういう仕組みだったのか。モニックを考える理由とか。

・オイラーは他にも「好適な数」というのを使って、より大きな素数判定をしていたらしい。3049は素数らしい。

・「Ｂは体ＫにおけるＡの整閉包」＝「ＢはＡの整拡大」。必ずしも体Ｋを持ち出す必要はない。

・(1/2)(１＋√-5)(１－√-5)=3から(3,1+√ー５)が(3)を割るのわかるの何でだ→(3)⊂(3,a)自明だから。(3,a)が(1)でないこと示して(3)の分解わかる。なぜ１でないかというと試しに3a+(1+√ー５)b=1とおくと両辺2かけて左辺を1+√-5でくくれて、２は１＋√-5でわれないので終了。単項かどうかとかイデアル類の判定は別のお話。ついでに6の因数分解から(3,1+√-5)(3,1-√-5)=(3)わかるのなんでだ。手元の教科書に載ってたっけ。

・整拡大の局所化、整拡大、こんな簡単な定理も知らなかった→f(x)がA係数モニック多項式ならf(sx)/s^n (s∊S積閉,nはfの次数)がS^{-1}A係数モニック多項式になるから？多分合ってるはず。これでb/s (b∊B)はS{-1}A上モニック多項式の根とわかるから。なんだ簡単だ（これで合ってるなら）。局所化すると楽で好き。

・類体論はエタールコホモロジーのポアンカレ双対定理だそうです。実質聞きかじっただけのことばが、三段積み。さすがにホモロジーは勉強しろよ。

・5chの数学板は、「リーマン予想解きました」やら「不完全定理が哲学をどうこう」みたいなスレッドしかないわけではなく、ときどきちゃんと数学してるスレッドがあってとても勉強になるのだが、そのようなスレッドだけを見つける方法がわからない。おなじスレッドの中でも数学っぽいゾーンと煽り合いみたいなゾーンがあったりするし。

・単数群が気になる。円分体の単数群がなんとなく気になる。ディリクレの単数定理より５次円分体の単数群は階数１だが生成元なんだろうとか。

・イデアルに加法ってあるけれど、記号の簡略化以上の意味があるなら知りたい。乗法と分配法則をもつとか、それに類する法則があるのか。