【体論】共役と自己同型 - 数学大好き宣言！

体論の基礎事項。
定義(共役)
$L/K$ :体の拡大、 $\alpha \in L$ を $K$ 上代数的(i.e. ある $F(x)\in K[x]$ が存在して $F(\alpha)=0$ )な元とする。
$\alpha$ の $K$ 上の最小多項式を $f$ とする。(代数的であることより、最小多項式は存在する。)
$\alpha'$ が $\alpha$ の共役とは、 $f(\alpha')=0$ であることを言う。

定理1(自己同型は共役への置換)
$L/K$ :体の拡大、 $\phi \in Aut(L/K)$ :自己同型写像、 $\alpha \in L$ : $K$ 上代数的
このとき、 $\phi(\alpha)$ は $\alpha$ の共役。
証明
$\alpha$ は $K$ 上代数的だから、 $\alpha$ の $K$ 上の最小多項式を $f$ とする。
$\phi$ が同型写像であることより、
$0=\phi(0)=\phi(f(\alpha))=f(\phi(\alpha)).$ よって $f(\phi(\alpha))=0$ だから $\phi(\alpha)$ は $\alpha$ の共役。

定理2(共役への置換は自己同型)
$L/K$ :体の拡大、 $\alpha\in L$ : $K$ 上代数的、 $\alpha'\in K(\alpha)$ : $\alpha$ のある共役とする。
さらに、 $K(\alpha)=K(\alpha')\subset L$ とする。
$\phi:K(\alpha) \rightarrow K(\alpha)$ を、
$F(\alpha)\in K(\alpha)$ ( $F(x)\in K[x]$ ) に対して $\phi(F(\alpha))=F(\alpha')$ で定義すると、これはwell-definedで、 $K(\alpha)$ の自己同型。
証明
well-defined を言うには、 $F(\alpha)=G(\alpha) \Rightarrow F(\alpha')=G(\alpha')$ ( $F,G\in K[x]$ ) を言えばよい。
$(F-G)(\alpha)=0$ と最小多項式の性質より、 $\alpha$ の最小多項式 $f$ は $F-G$ を割り切るから、ある $Q(x)\in K[x]$ が存在して
$(F-G)(x)=f(x)Q(x)$ . よって $\alpha'$ が共役であることより $(F-G)(\alpha')=f(\alpha')Q(\alpha')=0$ .
よって移項して $F(\alpha')=G(\alpha')$ だからwell-definedが示せた。
あとは同型を示せばよいが、文字を置換しているだけだから準同型は分かる。
また、 $\alpha,\alpha'$ の役割を交換すると、
$\phi^{-1}(F(\alpha'))=F(\alpha)$ で定義される逆写像 $\phi^{-1}:K(\alpha)=K(\alpha')\rightarrow K(\alpha')=K(\alpha)$ はwell-definedな準同型となり、 $\phi$ は逆写像が存在する準同型写像であるから同型写像。

定理３（単拡大の自己同型）
$L/K$ :体の拡大、 $\alpha\in L$ : $K$ 上代数的、 $\alpha$ の共役全体を $\{\alpha=\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}$ とする。
さらに、 $K(\alpha)=K(\alpha_2)=\cdots=K(\alpha_n)\subset L$ であるとする。このとき、 $K(\alpha)$ の自己同型全体は、
$F(\alpha)\in K(\alpha)$ ( $F(x)\in K[x]$ ) に対して $\phi_k(F(\alpha))=F(\alpha_k)$ ( $k\in\{1,\cdots,n\}$ ) で定義される $n$ 本の写像である。
証明:定理2より各 $\phi_k$ はwell-defined な準同型であり、定理1より任意の準同型は $\phi_k$ のいずれかだから。