数オリ（素数生成多項式の問題）

1987年の数学オリンピックの第六問「 $n$ を $2$ 以上の整数とする． $\displaystyle 0\leqq k\leqq \sqrt{\frac{n}{3}}$ をみたす任意の整数 $k$ に対して， $k^2 + k + n$ が素数ならば， $0\leqq k\leqq n-2$ をみたす任意の整数 $k$ に対して， $k^2+k+n$ は素数であることを示せ．」
の解答をメモ。
前半の条件を仮定する。つまり、 $\displaystyle 0\leqq k\leqq \sqrt{\frac{n}{3}}$ をみたす任意の整数 $k$ に対して， $k^2 + k + n$ が素数だと仮定する。
$m$ を $f(m)$ が合成数になる最小の自然数とする。
このとき、 $n-2\lt m$ つまり $n-1\leq m$ を示せばいい。
まず仮定より、 $m\gt \sqrt{\frac{n}{3}}$ つまり $3m^2\gt n$
$f(m)$ を割り切る最小の素数を $p$ とする。このとき、
$p^2\leq m^2+m+n\lt m^2+m+3m^2\\=4m^2+m\lt 4m^2+4m+1=(2m+1)^2$
よって $p\lt 2m+1$ つまり $p\leq 2m$ .・・・(1)
ここで、 $f(m)-f(k)=(m^2+m+n)-(k^2+k+n)\\=m^2-k^2+m-k=(m-k)(m+k)+m-k\\=(m-k)(m+k+1)$
だから、
$\displaystyle\prod_{k=0}^{m-1}\bigl(f(m)-f(k)\bigr)=\prod_{k=0}^{m-1}(m-k)(m+k+1)\\=m(m+1)\cdot(m-1)(m+2)\cdot(m-2)(m+3)\cdots\cdot1\cdot 2m\\=(2m)!$
$(1) p\leq 2m$ より $p|(2m)!$ (a|bでaがbを割り切る)だから、 $p|\displaystyle\prod_{k=0}^{m-1}(m-k)(m+k+1)$
よって、ある整数 $l~(0\leq l\leq m-1)$ が存在して $p|(m-l)(m+l+1)$ .
このとき $p|m-l$ か $p|m+l+1$ だから、 $p\leq m+l+1\cdots(2)$
また、 $(m-l)(m+l+1)=f(m)-f(l)$ だから $p|f(m)-f(l)$ でもある。
$p|f(m)$ だから $p|f(l)$ .
$l\leq m-1$ だから、 $m$ の最小性より $f(l)$ は素数で、 $f(l)=p$ .
よって $p=l^2+l+n$ だから $p-l=l^2+n$
(2)と合わせて
$m+1\geq p-l=l^2+n\geq n$
よって $m+1\geq n$ つまり $n-1\leq m.$
これが示したいことであった。

（感想）
「 $0\leqq k\leqq n-2$ をみたす任意の整数 $k$ に対して， $k^2+k+n$ は素数
⇔ $n$ は素数で、 ${\mathbb Q}(\sqrt{1-4n})$ の類数が１」
が知られているから、
「 $\displaystyle 0\leqq k\leqq \sqrt{\frac{n}{3}}$ をみたす任意の整数 $k$ に対して， $k^2 + k + n$ が素数
⇔ $n$ は素数で、 ${\mathbb Q}(\sqrt{1-4n})$ の類数が１」
が分かる。これを直接示すことはできないのだろうか。（※ｎが素数なのはｋ＝０を考えれば自明）

数学大好き宣言！

勉強メモ。おもしろいことを探していきたい。

数オリ（素数生成多項式の問題）