反復合成多項式の剰余関係 - 数学大好き宣言！

$f^n$ でfのn回合成を表すとする。例えば $f^2(x)=f(f(x))$ というように。
f(x)を多項式、a,bを自然数としたとき、 $f^a(x)-x$ は $f^{ab}(x)-x$ を割り切る。これを示す。
${\mathbb Q}[x]$ で有理係数多項式全体を表す。
$I=(f^a(x)-x){\mathbb Q}[x]$ を $(f^a(x)-x)$ で生成される ${\mathbb Q}[x]$ のイデアルとする。 $f^{ab}(x)-x≡0\mod I$ を示せばよい。
$f^{ab}(x)≡(f^a)^b(x)=f^a\circ f^a\circ \cdots \circ f^a$ ( $f^a(x)$ のb回合成) $≡x$ $(\because f^a(x)≡x \mod I)$
よって $f^{ab}(x)-x≡0\mod I$ だから、示された。
この証明方法から、さらに $m≡n\mod a\Rightarrow f^m(x)≡f^n(x)\mod(f^a(x)-x){\mathbb Q}[x]$
が分かる。なかなか面白い。