gcd(f(n),f(n+1))と代数的整数論 - 数学大好き宣言！

※8/17 もう少し考察してみました

mochi-mochi61.hatenablog.com

※筆者は整数論の初学者で、誤りや、回りくどい論述などがあるかと思います。発見したら指摘していただけると助かります。

こちらのツイートで提示され

多項式の公約数と言えば、昔どこかに投稿したんだけど、nが自然数の時の n^5+5 と (n+1)^5+5 の正の公約数としてあり得る整数が、おそらく見た目からは予想できない結果で、面白い。
— nishimura (@icqk3) 2020年8月10日

こちらのブログで考察されている問題

egory-cat.hatenablog.com

で、不思議な現象を見つけたので、報告と、代数的整数論を使った考察をしてみた。

まず不思議な現象を紹介する。x⁵+5と(x+1)⁵+5の終結式Res(x⁵+5,(x+1)⁵+5)を計算すると、-1968751. この1968751は、n⁵+5と(n+1)⁵+5の最大公約数がとりうる1でない唯一の値そのものとなっているのだ。wolframで計算した。

www.wolframalpha.com

以下なぜそうなるかの考察。

※追記：以下の長い議論はせずに、次のような初等的考察もできる：f(n)とg(n)がともにpで割れる⇔f(n),g(n)≡0(mod p),これはfとgが有限体𝔽ｐで共通根をもつということ、すなわち終結式が𝔽ｐで0(pで割り切れる)ということだ。

モニック多項式f(x),g(x)の終結式は $\prod_{i,j}(\alpha_i-\beta_j)$ (ただし $\alpha_i$ はf(x)の)根, $\beta_j$ はg(x)の根で、積は根の組み合わせ全体をわたる)だから、これに関連付けていく。

$K={\mathbb Q}(\zeta_5,(-5)^{\frac{1}{5}})~(\zeta_5は1の原始5乗根)$ とし、 $O_K$ をKの整閉包とする。x⁵+5=0の根を $\alpha_i(i=1,2,3,4,5)$ ,(x+1)⁵+5=0の根を $\beta_j(j=1,2,3,4,5)$ とする。n⁵+5と(n+1)⁵+5はともにK上で１次式の積まで因数分解されるから、 $O_K$ の素イデアル𝖕が、イデアル(n⁵+5)と( (n+1)⁵+5)をともに割り切るとすると、あるi,jが存在して𝖕|(n - $\alpha_i$ )かつ𝖕|(n - $\beta_j$ )となる。このとき(n - $\beta_j$ )-(n - $\alpha_i$ ) = $\alpha_i-\beta_j$ ∊𝖕だから、𝖕| $(\alpha_i-\beta_j)$ . よって𝖕|( $\prod_{i,j}(\alpha_i-\beta_j)$ )=(Res(x⁵+5,(x+1)⁵+5))=(1968751). 1968751は有理素数だから、(n⁵+5)∊𝖕⋂ℤ=(1968751).よって1968751|(n⁵+5). 同様に1968751|((n+1)⁵+5). よってn⁵+5と(n+1)⁵+5が互いに素でない⇒1968751が公約数がわかった。