8/20メモ

もしかしてこれ、Twitterでいい・・・？

・調和関数単体ではなく、適当な関数とペアにして積を入れ、環にしようというお話。

・積もコーシーリーマンを満たすことの証明が面倒くさい。

・調和関数の平均値の定理を使って積の証明ができないか。　

・線積分は、tの変化で、速さみたいなのを一定に保つために、長さとかを求めるのかな。単純な一直線の積分でも、曲線の方程式をx=t²,y=0にして、そのまま代入して積分したら値が変わっちゃう。

・離散的な正則関数という、おもしろいものを見つけた。

https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/27/3/27_3_193/_pdf/-char/ja

・和が経路によらないようにする工夫がおもしろい。

・離散解析関数(Discrete Analytic Functions)の解説pdf:

https://web.cs.elte.hu/~lovasz/analytic.pdf

・格子なのが残念というか、自分としては格子を超えて考えたいのだけど、それでもこれは大いに参考になるだろう。今日はこれをこなそう。

・ところで。有限幾何≈有限体の射影空間。これ面白そうだなあ。点が有限個でも、直線を考えたり。見た目からおもしろそう。

・さて、「勉強した」「わかった」って何なんだろ。頑張って教科書うつして証明追って勉強したことも、まったく頭に残ってなかったなんてことはよくある。一方で、長期間の勉強でもピンとこなかったものが、たったひとつの例示や喩えや言い換えなどで生き生きと見えてくる、わかってくることがある。勉強を始めるとき、ひとまずは何をすればいいのだろう。普通にがんばるので十分なんだろか。

 ・ひとつのきっかけでわかったなんて言って、本当は"気がする"だけかも。たとえば今自分はイデアルを分かるようになったつもりでいるけど、分からない部分(分解の一意性を証明する部分)から逃げて、ちょこっと具体例を計算しただけだ。わからなさを感じた根本原因をとりのぞかず、苦手という意識だけ具体例で紛らわしている。

・難しい(主観)素イデアル分解の一意性を証明できずとも、イデアルの定義は簡単で理解でき、定義がわかれば自分で操作でき、自分で操作できると分かった気がするということだ。もしも定義の難しい概念に出会ったら、たちまちダウンだ。

・機械や道具を使うのに似ている。

・離散解析関数にはものすごく興味があるけど、いったん振り出しに戻して見つめる。

・「層」が元は解析の概念だとはじめて知った（偏微分方程式が発祥by wikipedia）。それで考えると、スキームとはほぼ微分幾何なのでは？複素解析：ただの空間に、さらに局所的に正則関数をくっつけて考える(?)。スキーム論：ただの空間に、さらに局所的に環をくっつけて考える(?)。微分幾何：ただの空間に、関数と微分、曲率などをくっつけて考える(?)。

・つながってきてすごい・・・。微分幾何は物理のすごい理論に応用されているらしいし、ポアンカレ予想も、微分幾何を使って、多様体の崩壊？を観察して解かれたらしい（崩壊は関係ないかも）。なんだか一気に、自分にとっての地図が広がった印象。偏微分方程式のこと全く知らなかったけど、これで少し親近感がわくかも。

・問題意識も広がることになる。相互に「類似は何か？」を考えて。

・類体論と電磁気が対応するという話も、かなり学習すべきというモチベーションが出る。

・p進幾何とかの気持ちもわかりそう。

・空間の被覆の話で、空間に環やら代数がくっついたらガロア理論？

・ただの位相空間が一番、無の状態なのか？

・層の定義を見た。「集合への対応」って、抽象レベルが高すぎる。加群でも環でもいいよ、と。行くとこまで行った感ある。

・sheaf(層)で検索して出てきた画像↓

・このへんのキーワードの訳語が大体全部「たば（束）」。大丈夫なのか・・・？

・数学は、背伸びもいいね。

・射影平面の基本群が位数２の群なのを使って、おもしろい層がつくりたいです。なんて、ムリかなあ。

・局所的な連続関数体は一致なのに、そのまとめあげ方で全体の形が変わる感じがおもしろい。