p進解析関数 - 数学大好き宣言！

p進解析を勉強した。↓メモ↓

問題 p進数の世界でも、指数関数exp(x)や対数関数log(x), 三角関数sin(x)などを考えられるだろうか？

この問題をどのように考えるか。1つのアプローチとして、冪級数 $\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$ を考えて(例えばexp(x)なら $a_n=1/n!$ を考えて)、これがある範囲でp進収束するなら、それを冪級数が表す関数のｐ進版とする、という方法が考えられる。他にも、積分を用いたりなど色々方法はあるだろうが、今回はこの冪級数の方法で考えてみよう。(補足：p進→p進の関数の積分は定義が困難で、素朴に定義することができない。いい方法とは言えないかもしれない。)

そうするとつまり、 $\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$ の収束(xがどんな値のとき収束するのか)を考えねばならないことになる。もっと一般に、ｐ進無限級数の収束判定を考えてみよう。コーシー列の考え方(コーシーの判定法)より、 $\sum_{n=0}^{\infty}a_n$ が収束することは、m,n→∞のとき $\sum_{k=m}^{n} a_k　\rightarrow 0$ となることと同値である。実はこの条件、かなり単純化できる。

強三角不等式を使ってみよう。

m,n→∞のとき $\sum_{k=m}^{n} a_k　\rightarrow 0$ とは、m,n→∞のとき $|\sum_{k=m}^{n} a_k|_p$ が実数列として0に収束するということ。ここで強三角不等式より、
$\displaystyle \left|\sum_{k=m}^{n} a_k \right|_p \leq \max \{ |a_m|_p, |a_{m+1}|_p, \cdots ,|a_n|_p \}$ だから、 $|a_n|_p \rightarrow 0$ (つまり $a_n \rightarrow 0$ )(n→∞) であれば $\sum_{k=m}^{n} a_k　\rightarrow 0$ は成り立ち、 $\sum_{n=0}^{\infty}a_n$ は収束する。
一方で逆、つまり「 $\sum_{n=0}^{\infty}a_n$ が収束するならば $a_n \rightarrow 0$ (n→∞)」は成り立つ。
よって結局 $\sum_{n=0}^{\infty}a_n$ が収束することと $a_n \rightarrow 0$ (n→∞)とは同値！
定理 $\sum_{n=0}^{\infty}a_n$ が収束する $~\Leftrightarrow~$ $a_n \rightarrow 0$ (n→∞)

では、これを使って、早速 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ の収束・発散を調べよう。これが収束すれば、その範囲での値はexp(x)のp進版と呼べるはずだ。先ほどの収束判定法より、これの収束を調べるということは、つまり次の問題を考えることになる。
問題数列 $~x^n/n!$ がp進的に0に収束するようなxの範囲を求めよ。

$|x|_p \geq 1$ のときに $~x^n/n!$ は0に収束しないことはすぐにわかる。なぜなら分子のx^nはpで割れず(p進絶対値が1より小でなく)、分母はp進絶対値を小さくしない(むしろ大きくする)からだ。

$|x^n/n!|_p=|x|_p^n / |n!|_p=p^{-\{n\cdot v_p(x) - v_p(n!)\}}$ だから、 $|x|_p \lt 1$ のときには $v_p(n!)$ ,つまりn!に含まれる素因数pの個数を調べる必要がある。
階乗の素因数の公式 $v_p(n!)=\sum_{k=1}^{\infty} \lfloor n/p^k \rfloor$ (ただし $\lfloor ~\rfloor$ は床関数(ガウス記号)) を使おう。これによって、
$v_p(x^n/n!)=n\cdot v_p(x)-\sum_{k=1}^{\infty} \lfloor n/p^k \rfloor$ がわかる。
これが∞に発散するのが $x^n/n!$ が0に収束するとき。

床関数だから、
$n\cdot v_p(x)-\sum_{k=1}^{\infty} \lfloor n/p^k \rfloor \geq n\cdot v_p(x)-\sum_{k=1}^{\infty} n/p^k \\= n\cdot v_p(x) - \frac{np^{-1}}{1-p^{-1}} =n(v_p(x)-\frac{1}{p-1})$
ここまで来ればもう分かる。 $v_p(x)-\frac{1}{p-1}$ が正なら、 $v_p(x)-\frac{1}{p-1} \rightarrow \infty$ (n→∞)より $v_p(x^n/n!) \rightarrow \infty$ (n→∞).
それはどんなときかと言うと、pが2の場合は $v_p(x) \geq 2$ のとき、それ以外は $v_p(x) \geq 1$ のとき。

$|x|_p \geq 1$ つまり $v_p(x) \leq 0$ のときには、 $~x^n/n!$ は0に収束しないのだから、pが奇素数のときには、 $v_p(x) \geq 1$ は $~x^n/n!$ が0に収束する必要十分条件を与えている。p=2のときには、まだ $v_p(x)=1$ のときどうなるか？が試されていない。
p=2, $v_p(x)=1$ のとき、 $~x^n/n!$ の部分列 $x^{2^m}/(2^m)!$ をとろう。 $v_2(x^{2^m}/(2^m)!) = 2^m - \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor 2^m/2^k \rfloor \\ =2^m - \sum_{k=1}^{m} 2^{m-k}=1$ .
よって部分列が0に収束しないから、 $~x^n/n!$ は0に収束しない。
よってp＝2のときは、 $v_2(x) \geq 2$ が必要十分条件であることが分かった。

$v_p(x) \geq n$ となるp進体の部分集合は $p^n{\mathbb Z}_p$ だから、結局次が分かった：
定理 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ がp進収束する $\Leftrightarrow$ 「p=2かつ $x\in 4{\mathbb Z}_2$ 」または「p≠2かつ $x\in p{\mathbb Z}_p$ 」

今回はここまでにしておく。logやsin, arcsin ではどうなるだろうか。