指数関数とライプニッツの公式と二項定理(2)

$\phi$ をe^xをかける線形作用素とし、 $D$ をxで1回微分する線形作用素とする。このとき、
$(D\circ\phi)f=\frac{d}{dx}(e^x f)=e^x f+e^x \frac{d}{dx}f=(\phi\circ(I+D))f$ (ただしＩは恒等作用素)

よって $D\circ\phi=\phi\circ(I+D)$ だから、二項定理より、

$(D^n\circ\phi)f=(\phi\circ(I+D)^n)f=\displaystyle \left( \phi\circ\sum_{k=1}^n \binom{n}{k}D^k \right) f$

作用素のなす環の二項定理で、ライプニッツの公式による結果 $\displaystyle \frac{d^n}{dx^n}(e^x f)=e^x\sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \frac{d^k}{dx^k}f$
を導けた。

次は二項定理でライプニッツの公式を完全証明したい。

数学大好き宣言！