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意外なライプニッツ則（交換子のライプニッツ則）

数学

Rを非可換環とする。A,X,YをRの元とし、\phi_A(X)を
\phi_A(X)=AX-XA　で定める。
このとき、
\phi_A(XY)=AXY-XYA\\~~~~~~~~~~~~~~=AXY-XAY+XAY-XYA\\~~~~~~~~~~~~~~=(AX-XA)Y+X(AY-YA)\\~~~~~~~~~~~~~~=\phi_A(X)Y+X\phi_A(Y)
こんな単純な計算がライプニッツ則を満たすとは、意外でおもしろい。
証明も微分のそれと少し似ている。

微分のライプニッツ則の証明：
(fg)'(x)\\\displaystyle=\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\\displaystyle=\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\\displaystyle=\frac{(f(x+h)-f(x))g(x+h)+f(x)(g(x+h)-g(x))}{h}=(f'g+fg')(x)