【ガロア理論】Q(2^{1/4}, i) の自己同型群

$Aut({\mathbb Q}(\sqrt[4]{2},i)/{\mathbb Q})$ を求めよう。
前回(【体論】共役と自己同型 - 数学大好き宣言！)の定理を使っていく。
簡単のため $\sqrt[4]{2}=a$ とおく。
${\mathbb Q}(a,i)/{\mathbb Q}$ の自己同型 $\phi$ は $\phi(a)$ と $\phi(i)$ で一意に定まるから、
$\phi(a)=\alpha, \phi(i)=\beta$ であるような自己同型を $(\alpha,\beta)$ と書こう。例えば恒等写像は $\phi(a)=a, \phi(i)=i$ だから $(a,i)$ .
$a$ の ${\mathbb Q}$ 上の共役全体は $\{a,ai,ai^2,ai^3\}$ だから、前回の定理1より $\phi(a)\in \{a,ai,-a,-ai\}$ .
$i$ の ${\mathbb Q}$ 上の共役全体は $\{i,-i\}$ だから、前回の定理２より $\phi(i)\in \{i,-i\}$ .
よって $(\alpha,\beta)$ は $\{a,ai,-a,-ai\}\times \{i,-i\}$ に対応する8つの候補のどれかである。

８つから絞り込んでいこう。
まず恒等写像はもちろん自己同型だから $(a,i)\in Aut({\mathbb Q}(a,i)/{\mathbb Q})$ (1つ目).
$a$ の ${\mathbb Q}(i)$ 上の最小多項式は $x^4-2$ で、 $ai$ はその根だから $a$ の ${\mathbb Q}(i)$ 上の共役であり、
${\mathbb Q}(a,i)={\mathbb Q}(ai,i)$ だから、前回の定理2より
$(ai,i)\in Aut({\mathbb Q}(a,i)/{\mathbb Q}(i))$ .
$Aut({\mathbb Q}(a,i)/{\mathbb Q}(i)) \subset Aut({\mathbb Q}(a,i)/{\mathbb Q})$ だから、
$(ai,i)\in Aut({\mathbb Q}(a,i)/{\mathbb Q})$ (2つ目).
$(ai,i)\circ(ai,i)=(ai^2,i)=(-a,i),~=(ai,i)\circ(-a,i)=(-ai,i)$ だから、
$(-a,i),(-ai,i)\in Aut({\mathbb Q}(a,i)/{\mathbb Q})$ (3,4つ目).
$i$ の ${\mathbb Q}(a)$ 上の最小多項式は $x^2+1$ で、 $-i$ はその根だから $i$ の ${\mathbb Q}(a)$ 上の共役であり、
${\mathbb Q}(a,i)={\mathbb Q}(a,-i)$ だから、前回の定理2より
$(a,-i)\in Aut({\mathbb Q}(a,i)/{\mathbb Q}(a))$ .
一方 $Aut({\mathbb Q}(a,i)/{\mathbb Q}(a)) \subset Aut({\mathbb Q}(a,i)/{\mathbb Q})$ だから、
$(a,-i)\in Aut({\mathbb Q}(a,i)/{\mathbb Q})$ (5つ目).
さらに、 $(\alpha,i)\circ (a,-i)=(\alpha,-i)$ ( $\alpha\in \{ai,-a,-ai\}$ ) だから、 $(ai,-i),(-a,-i),(-ai,-i)\in Aut({\mathbb Q}(a,i)/{\mathbb Q})$ (6,7,8つ目).
以上より、結局、候補であった８つはすべて $Aut({\mathbb Q}(a,i)/{\mathbb Q})$ の元だと確認された.

集合としては決定されたから、群構造を決定しよう。
$Aut({\mathbb Q}(a,i)/{\mathbb Q})=G$ とおく。
${\rm id}=(a,i)=e$ , $(ai,i)=\sigma$ , $(a,-i)=\tau$ と書き、写像の合成 $\circ$ を省略すると、
$G=\{e, \sigma,\sigma^2,\sigma^3,\tau,\sigma\tau,\sigma^2\tau,\sigma^3\tau\}$ .
では、 $G={\mathbb Z}/4{\mathbb Z} \rtimes_{\phi} {\mathbb Z}/2{\mathbb Z}$ (ただし $\phi:{\mathbb Z}/2{\mathbb Z} \rightarrow Aut({\mathbb Z}/4{\mathbb Z})$ は $\phi(n)(x)=(-1)^n x$ ( $(-1)^n$ 倍写像)で定める)。
であることを示す。
$\Phi:{\mathbb Z}/4{\mathbb Z} \rtimes_{\phi} {\mathbb Z}/2{\mathbb Z} \rightarrow G$ を $(a,b)\mapsto \sigma^a \tau^b$ で定め、これが同型であることを示す。
まず、同じ位数8の有限集合の全射であるから $\Phi$ は全単射。
あとは準同型を示せばよい。 $\Phi( (a,b)(c,d) )=\Phi( (a+\phi(b)(c),~ b+d) )\\=\sigma^{a+(-1)^b c}\tau^{b+d}=\sigma^a \sigma^{(-1)^b c} \tau^b\tau^d$ .
ここで、 $\sigma\tau = (ai,i)\circ(a,-i) =(ai,-i)=(a,-i)(-ai,i)=\tau\sigma^3$ 、
また $\sigma^4=e$ より $\sigma^3=\sigma^{-1}$ だから、 $\sigma\tau=\tau\sigma^{-1}$ .
よって $\sigma^{(-1)^b c} \tau^b = \tau^b (\sigma^{(-1)^{b}})^{(-1)^b c}=\tau^b \sigma^{(-1)^{2b} c}=\tau^b \sigma^c$ .
よって $\sigma^a \sigma^{(-1)^b c} \tau^b\tau^d =\sigma^a \tau^b \sigma^c \tau^d =\Phi( (a,b) )\Phi( (c,d) )$ だから、準同型。
よって示された。