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メモ(三乗根による体拡大の自己同型？)

{\mathbb Q}(\sqrt[3]{2},\omega) / {\mathbb Q}の自己同型群を求めよう。
(1)
{\mathbb Q}(\omega) = {\mathbb Q}(\omega , \omega^2) より、
{\mathbb Q}(\omega)/{\mathbb Q}はx^2+x+1の根を添加する拡大だから、正規拡大。よってガロア拡大。
また、{\mathbb Q}(\omega) = {\mathbb Q}[x]/(x^2+x+1) だから拡大次数は2.
{\mathbb Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)={\mathbb Q}(\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}\omega, \sqrt[3]{2}\omega^2)より、
{\mathbb Q}(\sqrt[3]{2},\omega) / {\mathbb Q}(\omega) は x^3-2 の根を添加する拡大だから、正規拡大。よってガロア拡大。
また、{\mathbb Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)={\mathbb Q}(\omega)[x]/(x^3-2) だから拡大次数は3.
以上より{\mathbb Q}(\sqrt[3]{2},\omega) / {\mathbb Q} はガロア拡大で、拡大次数は6.
(2)
{\mathbb Q}(\sqrt[3]{2},\omega)/{\mathbb Q}(\sqrt[3]{2})の自己同型写像は、{\mathbb Q}(\sqrt[3]{2})の元を動かさないことより\mathbb Q の元も動かさないから、
{\mathbb Q}(\sqrt[3]{2},\omega) / {\mathbb Q}の自己同型写像でもある。
一方、{\mathbb Q}(\sqrt[3]{2},\omega)/{\mathbb Q}(\sqrt[3]{2})の自己同型は\omegaの行き先で決まるから簡単に求められ、{\mathbb Q}(\sqrt[3]{2})上の\omegaの最小多項式が(x-\omega)(x-\omega^2)だから、{\rm id}と\sigma(ただし\sigma(\omega)=\omega^2で定まる自己同型写像) の2つである。
全く同様に、{\mathbb Q}(\sqrt[3]{2},\omega)/{\mathbb Q}(\omega)の自己同型写像は、
{\mathbb Q}(\sqrt[3]{2},\omega) / {\mathbb Q}の自己同型写像でもあり、それは{\rm id},\tau,\tau^2(ただし\tauは\tau(\sqrt[3]{2})=\sqrt[3]{2}\omegaで定まる)。
以上より{\rm id},\sigma,\tau,\sigma\tau,\tau^2,\sigma\tau^2 はすべて{\mathbb Q}(\sqrt[3]{2},\omega) / {\mathbb Q}の自己同型で、すべて相異なることが確認できる。拡大次数が6だったからこれが全ての自己同型である。