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ライプニッツの公式と指数関数と二項定理

数学

\frac{d^n}{dx^n}e^{(a+b)x}=(a+b)^n e^{(a+b)x}.
一方e^{(a+b)x}=e^{ax} e^{bx}だから、ライプニッツの公式より、
\frac{d^n}{dx^n}e^{(a+b)x}=\frac{d^n}{dx^n}(e^{ax} e^{bx})
\displaystyle =\sum_{k=0}^n {\binom {n}{k}} \cdot \frac{d^k}{dx^k}e^{ax} \cdot \frac{d^{n-k}}{dx^{n-k}}e^{bx} = \sum_{k=0}^n {\binom {n}{k}} \cdot a^k e^{ax} \cdot b^{n-k} e^{bx} \\\displaystyle=\left( \sum_{k=0}^n {\binom {n}{k}}(a^k b^{n-k}) \right)e^{(a+b)x}
よって
\displaystyle (a+b)^n e^{(a+b)x} = \left( \sum_{k=0}^n {\binom {n}{k}}(a^k b^{n-k}) \right)e^{(a+b)x}
これは二項定理になっている。ちょっとおもしろい。