微分方程式から三角関数の加法定理を証明

三角関数の加法定理を、微分方程式から証明します。

$\displaystyle\int_0^x (1-\xi^2)^{-1/2}d\xi +\int_0^y (1-\eta^2)^{-1/2}d\eta=\int_0^z(1-\zeta^2)^{-1/2}d\zeta \tag{1}$

この式のzをx,yの関数として求めればよい。

$zを固定してx,yを動かすために変数tを導入し、\\ \displaystyle\frac{dx}{dt}=(1-x^2)^{1/2},\frac{dy}{dt}=-(1-y^2)^{1/2}\\とすると、(1)をtで微分して\\ \displaystyle\frac{dz}{dt}=0\\ここで\\ \displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}=-2x,\frac{d^2y}{dt^2}=-2y だから\\ \displaystyle\frac{d}{dt}(y\frac{dx}{dt}-x\frac{dy}{dt})=0\\ よって\\ \displaystyle(y\frac{dx}{dt}-x\frac{dy}{dt})=y(1-x^2)^{1/2}+x(1-y^2)^{1/2}$