9999の加法定理、フィボナッチ数列の加法定理

不思議な計算がある。
$2×99999=99×1001 + 101×999$
$2×999999=99×10001 + 101×9999$
$2×99999999=999×100001 + 1001×99999$
$s_n=9999...999$ (n桁), $c_n=100...001$ (n+1桁) とおくと、
$2s_{m+n}=s_m c_n +c_m s_n$ となっているようだ。三角関数の加法定理にそっくりだ！

これは、 $s_n = 10^n -1,~c_n=10^n + 1$ となっていることに着目すると、
次の定理を使って示せる：
定理
$a(x)=\alpha^x - \beta^x, b(x)=\alpha^x +\beta^x$ とおくと、
$2a(x+y)=a(x) b(y) + b(x) a(y)$
証明：
$(\alpha^x ± \beta^x)(\alpha^y ∓\beta^y)=\alpha^{x+y}~∓\alpha^x\beta^y~±\alpha^y\beta^x ~-\beta^{x+y}$
復号の上側が $b(x) a(y)$ , 下側が $a(x) b(y)$ だから、和をとって
$a(x) b(y) + b(x) a(y)=2\alpha^{x+y} - 2\beta^{x+y}=2a(x+y)$ .□

これに $\alpha=10$ , $\beta=1$ , $x=m,~y=n$ を代入すると前掲の公式となる。
なお、 $\alpha=e^i,~ \beta=e^{-i}$ を代入し、両辺を $4i$ で割ると通常の三角関数の加法定理となる。
さらに、 $\alpha=e, ~\beta=e^{-1}$ を代入し、両辺を４で割ると双曲線関数の加法定理となる。

さらに。 $\alpha=\dfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}, ~\beta=\dfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}$ とおく。
フィボナッチ数列は
$F_{n}=\frac {1}{\sqrt {5}}}\left\{\left({\dfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\dfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right\$
と書けるから、 $F_n=a(n)/\sqrt{5}$
また、リュカ数は
$L_{n}=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}+\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}$
と書けるから、 $L_n=b(n)$
公式の両辺を $\sqrt{5}$ で割って
$\displaystyle 2\frac{a(m+n)}{\sqrt{5}} =\frac{a(m)}{\sqrt{5}} b(n) + b(m) \frac{a(n)}{\sqrt{5}}$
よって
$\displaystyle 2F_{m+n}=F_m L_n +L_m F_n$
(フィボナッチ数列の加法定理)

数学大好き宣言！

勉強メモ。おもしろいことを探していきたい。

9999の加法定理、フィボナッチ数列の加法定理