正多面体と素数の現象だけまとめ

橋本義武先生の「正多面体と素数」をよんだ。

作者:橋本義武
放送大学教育振興会

そこに書いてあった正多面体と素数の関係を列挙しておく。
この謎の現象を理解するために、一旦まとめてみようという考え。

１.面、辺、頂点の数に関する現象
①正多面体について、面の数ー１，辺の数ー１，頂点の数ー１はすべて素数。
②面の数＋辺の数ー１，辺の数＋頂点の数ー１，面の数＋頂点の数ー１，
面の数＋辺の数＋頂点の数ー１はすべて素数か素数の二乗。
③面とその辺の１つとその端点の１つ、という３つ組を「旗」というが、
(旗の数/2)+面の数＋辺の数＋頂点の数ー１は素数の二乗。
また、旗の数＝辺の数＊４だから、これは面の数＋辺の数＊３＋頂点の数ー１が素数の二乗と言っても同じ。

２.正多面体多項式に関する現象
正多面体多項式 $F_R^I(X)$ と本の中で呼ばれている多項式たちに対して、
①ｐを素数とすると、次数はp,p^2,p+1,p^2+1のいずれか
②最高次と最低次以外の項の係数は、①と同じｐでわりきれる
③次数がp,p^2なら、最低次の次数は１で、次数がp+1,p^2+1なら最低次の次数は０
※①と、１．①②は実は同じことを言っている。
正多面体多項式はとてもたくさんあり、それに対応してどんどん素数が現れる様は圧巻。

３．群に関する現象
正四面体群 $G_{Te}$ は $PSL_2({\mathbb F}_5)$ の部分群と見なせ、 $|PSL_2({\mathbb F}_5)/G_{Te}|=5$
$PSL_2({\mathbb F}_5)\cong A_5$ だが、これは $PSL_2({\mathbb F}_5)$ による $PSL_2({\mathbb F}_5)/G_{Te}$ の置換。
正八面体群 $G_{Oc}$ は $PSL_2({\mathbb F}_7)$ の部分群と見なせ、 $|PSL_2({\mathbb F}_7)/G_{Oc}|=7$
正二十面体群 $G_{Ic}$ は $PSL_2({\mathbb F}_11)$ の部分群と見なせ、 $|PSL_2({\mathbb F}_11)/G_{Ic}|=11$
また、 $|PSL_2({\mathbb F}_p)/H|=p$ となる部分群Hが存在するのは以上のｐ＝５，７，１１のときだけ。
また、正多面体に対して、
対応する正多面体群の位数＋面の数＋辺の数＋頂点の数ー１は、
正四面体では５²
正八面体、正六面体では７²
正二十面体、正十二面体では１１²