正多面体群と射影特殊線形群 - 数学大好き宣言！

正多面体群はSO(3)の部分群で、「素数との関係」という観点において対応する群がPSL(2,q)で、馴染まないなと思っていたが、ちょっと調べて、以下のことが分かった。どちらもPSLの話だと言うことができる。

・SL(2,ℂ)の有限部分群には、正多面体が現れる。有限部分群はある内積を保つのでSU(2)の部分群になり、よってSU(2)とSO(3)の関係から、SO(3)の有限部分群の分類に帰着される。こうしてSL(2,ℂ)の有限部分群は二面体群か二項正多面体群(二面体含む)であることが定まる。

・正多面体群はP¹(ℂ)に作用し、PSL(2,ℂ)の部分群である。ここから、有理関数であるような保形関数が作られる。

・正多面体方程式と関連するモジュラー関数がある。そのような関数Fは上のような保形関数の1つg(z)とJ(τ)=g(F(τ)) (ただしJはクラインのJ関数)などの関係式を持ったりする。
きっとこれも、正多面体群が有限部分群であることを使って考えられるだろう。