フェルマーのクリスマス定理とは
「pが素数のとき p≢3 (mod 4) ⇔ x²+y²=p が整数解をもつ」
という定理のこと。
ところで、次の定理が知られている：
定理(1798,ルジャンドル)
nが自然数のとき n=4ᵏ(8m+7) (k,mは非負整数) ⇔ x²+y²+z²=n が整数解をもたない
この定理において、n=pを素数に制限すれば、pは4の倍数でないから、
「pが素数のとき p≢7(mod 8) ⇔ x²+y²+z²=p が整数解をもつ」
という、クリスマス定理にそっくりの定理が得られる。
計算ツールを使って、このような定理をたくさん探してみた。
クリックで計算結果が開きます。
2 ≡ 2 , (0, 0, 1)
3 ≡ 3 , (1, 0, 1)
5 ≡ 5 , (1, 1, 1)
7 ≡ 7 , 解なし
11 ≡ 3 , (1, 1, 2)
13 ≡ 5 , (3, 1, 1)
17 ≡ 1 , (1, 2, 2)
19 ≡ 3 , (1, 0, 3)
23 ≡ 7 , 解なし
29 ≡ 5 , (3, 1, 3)
31 ≡ 7 , 解なし
37 ≡ 5 , (1, 3, 3)
41 ≡ 1 , (1, 2, 4)
43 ≡ 3 , (3, 1, 4)
47 ≡ 7 , 解なし
53 ≡ 5 , (1, 1, 5)
59 ≡ 3 , (1, 2, 5)
61 ≡ 5 , (3, 1, 5)
67 ≡ 3 , (3, 2, 5)
71 ≡ 7 , 解なし
73 ≡ 1 , (1, 0, 6)
79 ≡ 7 , 解なし
83 ≡ 3 , (1, 4, 5)
89 ≡ 1 , (3, 2, 6)
97 ≡ 1 , (5, 0, 6)
101 ≡ 5 , (1, 1, 7)
103 ≡ 7 , 解なし
107 ≡ 3 , (1, 2, 7)
109 ≡ 5 , (3, 1, 7)
113 ≡ 1 , (3, 4, 6)
127 ≡ 7 , 解なし
131 ≡ 3 , (1, 1, 8)
137 ≡ 1 , (1, 2, 8)
139 ≡ 3 , (3, 1, 8)
149 ≡ 5 , (1, 5, 7)
151 ≡ 7 , 解なし
157 ≡ 5 , (3, 5, 7)
163 ≡ 3 , (1, 0, 9)
167 ≡ 7 , 解なし
173 ≡ 5 , (3, 1, 9)
179 ≡ 3 , (1, 5, 8)
181 ≡ 5 , (1, 3, 9)
191 ≡ 7 , 解なし
193 ≡ 1 , (7, 6, 6)
197 ≡ 5 , (1, 7, 7)
199 ≡ 7 , 解なし
211 ≡ 3 , (3, 1, 10)
223 ≡ 7 , 解なし
227 ≡ 3 , (1, 7, 8)
2 ≡ 2 , (1, 1, 0)
3 ≡ 3 , 解なし
5 ≡ 5 , (0, 0, 1)
7 ≡ 7 , (1, 1, 1)
11 ≡ 3 , 解なし
13 ≡ 5 , (2, 2, 1)
17 ≡ 1 , (1, 4, 0)
19 ≡ 3 , 解なし
23 ≡ 7 , (3, 3, 1)
29 ≡ 5 , (0, 3, 2)
31 ≡ 7 , (1, 5, 1)
37 ≡ 5 , (1, 4, 2)
41 ≡ 1 , (0, 6, 1)
43 ≡ 3 , 解なし
47 ≡ 7 , (1, 1, 3)
53 ≡ 5 , (2, 2, 3)
59 ≡ 3 , 解なし
61 ≡ 5 , (0, 4, 3)
67 ≡ 3 , 解なし
71 ≡ 7 , (1, 5, 3)
73 ≡ 1 , (2, 7, 2)
79 ≡ 7 , (3, 5, 3)
83 ≡ 3 , 解なし
89 ≡ 1 , (0, 3, 4)
97 ≡ 1 , (1, 4, 4)
101 ≡ 5 , (0, 9, 2)
103 ≡ 7 , (3, 7, 3)
107 ≡ 3 , 解なし
109 ≡ 5 , (0, 8, 3)
113 ≡ 1 , (2, 8, 3)
127 ≡ 7 , (1, 1, 5)
131 ≡ 3 , 解なし
137 ≡ 1 , (4, 11, 0)
139 ≡ 3 , 解なし
149 ≡ 5 , (0, 12, 1)
151 ≡ 7 , (1, 5, 5)
157 ≡ 5 , (4, 4, 5)
163 ≡ 3 , 解なし
167 ≡ 7 , (1, 11, 3)
173 ≡ 5 , (2, 13, 0)
179 ≡ 3 , 解なし
181 ≡ 5 , (0, 1, 6)
191 ≡ 7 , (5, 11, 3)
193 ≡ 1 , (2, 3, 6)
197 ≡ 5 , (1, 4, 6)
199 ≡ 7 , (5, 7, 5)
211 ≡ 3 , 解なし
223 ≡ 7 , (3, 13, 3)
227 ≡ 3 , 解なし
2 ≡ 2 , (1, 1, 0)
3 ≡ 3 , 解なし
5 ≡ 5 , (1, 2, 0)
7 ≡ 7 , 解なし
11 ≡ 3 , (1, 1, 1)
13 ≡ 5 , (0, 2, 1)
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31 ≡ 7 , 解なし
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41 ≡ 1 , (1, 2, 2)
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47 ≡ 7 , 解なし
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59 ≡ 3 , (1, 7, 1)
61 ≡ 5 , (0, 5, 2)
67 ≡ 3 , (3, 7, 1)
71 ≡ 7 , 解なし
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79 ≡ 7 , 解なし
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89 ≡ 1 , (2, 2, 3)
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101 ≡ 5 , (1, 8, 2)
103 ≡ 7 , 解なし
107 ≡ 3 , (1, 5, 3)
109 ≡ 5 , (0, 10, 1)
113 ≡ 1 , (2, 10, 1)
127 ≡ 7 , 解なし
131 ≡ 3 , (1, 7, 3)
137 ≡ 1 , (1, 10, 2)
139 ≡ 3 , (3, 7, 3)
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151 ≡ 7 , 解なし
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163 ≡ 3 , (1, 9, 3)
167 ≡ 7 , 解なし
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191 ≡ 7 , 解なし
193 ≡ 1 , (0, 7, 4)
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199 ≡ 7 , 解なし
211 ≡ 3 , (3, 11, 3)
223 ≡ 7 , 解なし
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41 ≡ 17 , 解なし
43 ≡ 19 , (2, 2, 3)
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173 ≡ , (3, 8, 2)
179 ≡ , (0, 7, 3)
181 ≡ , (10, 0, 3)
191 ≡ , 解なし
193 ≡ , (7, 0, 4)
197 ≡ , 解なし
199 ≡ , (1, 9, 2)
211 ≡ , (7, 3, 4)
223 ≡ , (5, 9, 2)
227 ≡ , (0, 1, 5)
注意：2変数の場合からすぐに証明できることもある。
例：(定理)p≢3 (mod 4) ⇔ x²+y²+4z²=pが整数解をもつ
証明：⇒は、x²+y²=p の解を使えばよい。
⇐も簡単。x²+y²+4z²=pの両辺のmod4 をとると x²+y²≡p(mod 4). (平方数)≡0,1(mod 4) だから左辺は3ではない。(x²+y²=pのときと全く同じ議論)
