(3/9~)メモ

・算術幾何平均を使った円周率の近似：a_0=1, b_0=1/√2, S_0=1/4, a_{n+1}=(a_n+b_n)/2, b_{n+1}=√(a_n+b_n), S_{n+1}=S_n+2^n(a_{n+1}^2+b_{n+1}^2)とおくと、n→∞のときS_n→πらしい。
・漸化式a_{n+2}=Aa_{n+1}+Ba_nを満たす数列a_nにおいて、b_n=a_{n+1}/a_n とおくと、b_{n+1}=a_{n+2}/a_{n+1}=(Aa_{n+1}+Ba_n)/a_{n+1} =A+B/b_n. b_n=a_n/a_{n+1}とおくと、b_{n+1}=a_{n+1}/(Aa_{n+1}+Ba_n)=1/(A+Bb_n).　ところで、(正則)連分数はx=1/(A+Bx) (A,Bは整数)に繰り返し代入したものだ。
・skolemの方法すごい！^3-2y^3=1が有限個の解しかもたないことを示す。不定方程式x^3-2y^3=1は,N(x-yα)=1 (α=三乗根2)と書き換えられる。一方ディリクレの単数定理よりQ(α)の単数は１つのεで生成されるから、x-yα＝ε^n. ε^k=x+yα+zα^2 とする。このとき共役をとってε'^k=x+yωα＋zω^2α^2, ε''^k=x+yω^2α+zωα^2. よって3z=(ε^n+ωε^n+ω^2ε^n)=0. これはnについての方程式だから、これが有限個の解しかもたないと期待したい。それを示すためにｐ進解析を使う!! もしさっきの方程式が無限個の整数解をもつなら、ｐ進整数環がコンパクトであることより、(ε^n+ωε^n+ω^2ε^n)の零点は集積点をもつから、p進解析版"一致の定理"よりε^n+ωε^n+ω^2ε^nは零関数となり矛盾!
・相互法則=reciprocity law。 reciprocate:交換する、往復する。素数を交換する法則。