アーベル拡大の円分体での表示メモ

気付いたかもしれない。

・７分体ℚ(ζ)を例にとる。ガロア群について、ζ→ζ＾３は生成元になるのでそいつをσとしとく。今７分体から、σ＾｛偶数｝の置換（平方剰余の部分群）で不変しかしσでは不変でない数を何でもとってくる。これはどんな数かというと、まず部分群を最大にとってるんでそれで不変の数は少ない方なんだけど、これはℚ(√ー７)の元で有理数でないものになる。ここまでは既知の結果の整理にすぎないと気付いた。

こっから新しいことができる。ζ→ζ＾｛－１｝で不変な部分体を今度はとると、これはℚ(ζ)のうち３次の数を集めたことになるのか！さらにうまくいくのが、ちゃんと、この置換では不変だが他の置換ではそうでないものを選んでやると（αとおく）、体ℚ(α)は真の部分体を持たなくなるはずだ！素数最高！そうℚ(α)のガロア群は３次の巡回群になって、その次数が素数だから部分群なしがわかってそこからガロア対応より部分体なしが出る。３次巡回群くらいなら部分群ないの自明だけど。

さあさあ。例のsinの、平方根を求める公式が、体の表示を得たところに功績があるなら、同じことは速攻でできるはず！てきとうにαを選んでそいつの満たす方程式を調べるだけだ。αをうまく選べば方程式を簡単に求められるかもしれず、そこにセンスが問われるなあ。

やりのこしはあるなあ。「すべての」３次の拡大（３次はアーベル確定）を求めるためには足りてないんで。やはり３次拡大そのものをよく知る（まず同型判定する）必要があるからなあ。