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外積(ウェッジ積)と小行列式（3次のとき）

数学

{\bf v}_1=v_{11}{\bf e}_1+v_{21}{\bf e}_2+v_{31}{\bf e}_3,
{\bf v}_2=v_{12}{\bf e}_1+v_{22}{\bf e}_2+v_{32}{\bf e}_3とする。

{\bf v}_1\wedge {\bf v}_2\\=(v_{11}{\bf e}_1+v_{21}{\bf e}_2+v_{31}{\bf e}_3)\wedge (v_{12}{\bf e}_1+v_{22}{\bf e}_2+v_{32}{\bf e}_3)
=(v_{11}v_{22}-v_{21}v_{12}){\bf e}_1\wedge{\bf e}_2
+(v_{21}v_{32}-v_{31}v_{22}){\bf e}_2\wedge{\bf e}_3
+(v_{11}v_{32}-v_{31}v_{12}){\bf e}_1\wedge{\bf e}_3

{\displaystyle M={\begin{pmatrix}v_{11}&v_{12}&v_{13}\\v_{21}&v_{22}&v_{23}\\v_{31}&v_{32}&v_{33}\end{pmatrix}}}
とおくと、
{\bf e}_1\wedge{\bf e}_2の係数はMの第3,3小行列式、
{\bf e}_2\wedge{\bf e}_3の係数はMの第1,3小行列式、
{\bf e}_1\wedge{\bf e}_3の係数はMの第2,3小行列式になっている。

少し考察してみよう。
(v_{11}{\bf e}_1+v_{21}{\bf e}_2+v_{31}{\bf e}_3)\wedge (v_{12}{\bf e}_1+v_{22}{\bf e}_2+v_{32}{\bf e}_3)
=\{(v_{11}{\bf e}_1+v_{21}{\bf e}_2)+v_{31}{\bf e}_3\}\wedge\{(v_{12}{\bf e}_1+v_{22}{\bf e}_2)+v_{32}{\bf e}_3\}
であって、これを展開したとき、{\bf e}_1\wedge{\bf e}_2が出てくるのは
(v_{11}{\bf e}_1+v_{21}{\bf e}_2)\wedge(v_{12}{\bf e}_1+v_{22}{\bf e}_2)の部分のみ。
そしてこれは{\displaystyle {\begin{vmatrix}v_{11}&v_{12}\\v_{21}&v_{22}\end{vmatrix}}}に一致するから、結局小行列式になるわけだ。