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隣接代数の畳み込みと数列の畳み込み

数学

ja.wikipedia.org
この記事では、上のページの「定義」に登場する記号を使用する。

自然数ℕは、通常の大小関係によって局所有限半順序集合になる。そのため、隣接代数を考えることができる。
a:ℕ→ℂを数列とする。
(a＊b)(n)=\sum_{k=0}^n a(k) b(n-k)とする。
aから隣接代数の元f_a を、f_a(m,n)=a(n-m)として定める。
このとき、以下が成り立つ。
f_{a*b}(m,n)=(f_a*f_b)(m,n)
(証明)
\begin{array}{l} f_{a * b}(m, n) \\ =\displaystyle\sum_{k=0}^{n-m} a(k) b(n-m-k) \end{array}
k'=k+mとおくと
f_{a * b}(m, n)=\displaystyle\sum_{k'=m}^n a(k'-m)b(n-k')
一方、
(f_a*f_b)(m,n)=\displaystyle\sum_{m\leq k\leq n}f_a(m,k)f_b(k,n)=\sum_{k=m}^n a(k-m)b(n-k)
よって両者は等しい。