p進連分数

ｐ進数の世界でも、連分数を考えることができる！(収束する！)
pを奇素数とする。
f(x)=x²-2x-p とおく。
f(x)=x(x-2)-p だから、f(0)≡0(mod p), f(2)≡0(mod p).
また, f'(x)=2x-2 であり、f'(0)=-2≢0(mod p), f'(2)=2≢0(mod p). (pは奇素数より)
よってヘンゼルの補題より、f(x)=0はp進整数環上に、
α≡0(mod p)となる解αと、β≡2(mod p)となる解βをもつ。
aₙ=(αⁿ⁺¹＋βⁿ⁺¹)/(αⁿ＋βⁿ)　とおく。
a₀=(α+β)/2=1,
aₙ₊₁=(αⁿ⁺²＋βⁿ⁺²)/(αⁿ⁺¹＋βⁿ⁺¹)=(2(αⁿ⁺¹＋βⁿ⁺¹)＋p(αⁿ＋βⁿ))/(αⁿ⁺¹＋βⁿ⁺¹) = 2+p(αⁿ＋βⁿ)/(αⁿ⁺¹＋βⁿ⁺¹) = 2+p/aₙ .
よって

一方、aₙ=(αⁿ⁺¹＋βⁿ⁺¹)/(αⁿ＋βⁿ) で、
α≡0(mod p), β≢0(mod p) より|αⁿ/βⁿ|ₚ≤p⁻ⁿ→0 (n→∞) だから、
aₙ→(α(αⁿ/βⁿ)+β)/( (αⁿ/βⁿ)+1)→β (n→∞).

よって

ほとんど初期値によらないことも示しておこう。
数列{aₙ}を、a₀=x∊(x≠0),
aₙ₊₁=2+p/aₙ で定義される数列とする。
このときaₙの一般項は
(Aαⁿ⁺¹＋Bβⁿ⁺¹)/(Aαⁿ＋Bβⁿ) (ただしA=β-x, B=x-α)
である。実際、n=0のとき
(Aα+Bβ)/(A+B)=(αβ-αx+βx-αβ)/(β-x+x-α)=(βx-αx)/(β-α)=x,
n+1を代入すると
(Aαⁿ⁺²＋Bβⁿ⁺²)/(Aαⁿ⁺¹＋Bβⁿ⁺¹)=(2(Aαⁿ⁺¹＋Bβⁿ⁺¹)＋p(Aαⁿ＋Bβⁿ))/(Aαⁿ⁺¹＋Bβⁿ⁺¹) = 2+p(Aαⁿ＋Bβⁿ)/(Aαⁿ⁺¹＋Bβⁿ⁺¹) = 2+p/aₙ .
よってaₙ=(Aαⁿ⁺¹＋Bβⁿ⁺¹)/(Aαⁿ＋Bβⁿ) で、
|αⁿ/βⁿ|ₚ≤p⁻ⁿ→0 (n→∞) だから、B≠0 のとき
aₙ→β (n→∞).
よってB=0つまりx≠αのとき、