久しぶりの記事はメモ。 最近勉強していることは理解度が低く、 ひと記事ぶんになるくらいのストーリーを、自分でまとめて書くのは難しいので妥協。 以下メモ↓ ・グラフAが二つの連結成分A₁, A₂に分かれていて、しかもA₁, A₂が同型でないなら、 Aの自己同型…

・K(k)をモジュラスkの第一種完全楕円積分,K'(k)=K(√(1-k))とする。K(λ)/K'(λ)=pK(k)/K'(k) (pは素数) を満たすときのλ^2, k^2の関係式は、ほとんどすべての素数ではp+1次だが、p=5,7,11のときに限りp次だという。ガロアが見つけたらしい。ところで、PSL(2,F…

・らしい。y=1/x^2, x^2=1/y の変数変換で移りあうようだ。 ・ベータ関数の公式より、一般のフェルマー曲線の周期をΓ関数で表すことができる。 ・K'/Kが√rになるときの楕円積分はガンマ関数で表せることを、chowlaとselbergが示した。例： r=1のとき r=5のと…

・算術幾何平均を使った円周率の近似：a_0=1, b_0=1/√2, S_0=1/4, a_{n+1}=(a_n+b_n)/2, b_{n+1}=√(a_n+b_n), S_{n+1}=S_n+2^n(a_{n+1}^2+b_{n+1}^2)とおくと、n→∞のときS_n→πらしい。 ・漸化式a_{n+2}=Aa_{n+1}+Ba_nを満たす数列a_nにおいて、b_n=a_{n+1}/a…

・ｆを閉リーマン面X上の有理型関数、ｇを閉リーマン面からそれ自身への正則写像とすると、fとｇの合成もX上の有理型関数だから、Xの関数体に属する。よってｆとの代数的な関係式をもつ。例：モジュラー群の基本領域はリーマン球面と見なせ、PSL(2,R)による…

(3/3) ・群は代数的構造を忘れると集合である。同様に群の圏の代数的構造を忘れさせることで集合の圏への関手が作れるらしく、これを忘却関手というらしい。そのまんまだ。 ・位数ｐの有限体のガロア群がｐ乗で生成されることを示す。有限体𝔽pの有限次拡大K…

・ルジャンドル記号のガウス和 Σ(a/p)exp(2πia/p) (ただし(a/p)はルジャンドル記号で、和はa=1からpまでとする)は、p番目の円分多項式＝0という方程式の、二次のラグランジュリゾルベントである。実際にガロア群を作用させてexp(2πia/p)をexp(2πiab/p) (b乗)…

2/15 ・最大不分岐アーベル拡大は有限次元だが、ある素数ｐの分岐だけは許したアーベル拡大は無限にある。(だから調べ甲斐がある？) ・f(x1,x2,...xn)をp進整数係数の多項式とし、a_kをZ/(p^k)Z でのf=0の解の個数とする。このとき形式べき級数Σa_k*t^kを井…

(2/6) ・円分方程式が代数的に解けることの証明を思いついた。基本はガロア群が可解群である方程式を解く流れと一緒だが、ｐ乗根が代数的に解けるという仮定は使えないことに注意する。例えば23等分方程式を解くとすると、23-1=2*11より、二次の巡回拡大と１…

1/25 21時頃 ・1より大きい実代数的数であって、自分以外の代数共役の絶対値が１より小さくなっているようなもののことを、Pisot数という。フィボナッチ数列の前後比が(1+√5)/2に近づいたり、(1+√5)/2の累乗がどんどん整数に近づく現象が一般化できる。Pisot…

久しぶりの更新になる。最近勉強したこと：長方形の正方形でのタイリングは、グラフの調和関数で表せる。以下メモ。正方形を辺、横向きの平行線を頂点としてグラフをつくる。頂点上の関数ｆを、各頂点で、その頂点の対応する平行線の高さ（底辺からの距離）…

・円分体の類数は、類数公式を元に、二つの因数の積に分けて考えるそうだ。 ・算術級数定理は、「指標の直交性」で特定のan+bを残せることを使うようだ。「直交性」は一般に群の表現にあるようで、それを用いて算術級数定理の一般化ができるらしい。ただ、今…

☆役立つし良い定理見つけた。代数体の整数環Ｏ_Kにノルムｐ＾ｎの素イデアルがあるならば、それによる剰余はＯ_Kから𝔽ｐ＾ｎへの全射環準同型となる。では逆に、𝔽ｐ＾ｎへの全射準同型が存在するのはいつもこのようなときに限るだろうか？その全射準同型の核…

・代数的整数論は一部の問題にとてもつかいやすいし、使うことでまた理解を深められる。 ・数学の長い証明や難しい定理の連続も、イメージや意図や方針がわかっていれば、割合分かりやすい。 ・直感と直感を実現する技巧は分離したいということか。 ・pのℤ[α…

今日はだいたい、行列のζ関数、合同ζ関数、グラフの(伊原)ζ関数について考えていた。 合同ゼータ関数の３つの形を知っている。１つめは指数で定義されるexp(Σa_n*x^n)の形。２つめは有理関数形P1(x)*P3(x)*.../P0(x)*P2(x)...。これは行列式表示ともみなせる…

・行列のゼータ関数の定義←→局所ゼータ関数の定義(exp()で定義)、どちらも行列式表示をもつ→"跡公式"で示される(局所のは、レフシェッツ不動点定理をフロベニウスに適用)→これが「有限体の多様体での"コホモロジー理論"を打ち立てる」の意味。跡公式さえあれ…

9月になった。 ・.よって局所環ℤ₃[2^(1/3)]で３＝。割り算自由な局所環便利、と思いきや、類数１で、も単数だった。 ・完備離散付値環の素イデアル分解はどうなる？べきにしか分解しないなら、それで分岐のことがわかるのか？まだまだ局所的テクニックは使い…

節目なので振り返ってみる。 ・記事数が随分増えたが、たくさん勉強した証ではなく、日記が多いだけ。 ・とはいえ数学は高い更新ペースというのは無理だ。勉強には時間がかかるし、勉強したことを書けるほど理解する、嚙み砕く時間もかなりかかる。面白いこ…

・複素力学系おもしろすぎる。外射線と、周期点の分類理論がおもしろい。 ・二乗の総和の式の図形的解釈、対称性を使ってる。対称性に着目して何か一般化できそう。考えないとわからないけど。 ・よく考えたらこれだな↓ 空間の次元を上げる一般化ができるか…

・微分形式とは何か、とりあえず知りたい。ストークスの定理とかベクトル解析調べてて見つけた、あと以前からきいたことが。←層とも関係？ ・確率過程で引っかかっていたところ、解決できそう ・共形場理論？ファイバーバンドル ・構造群？ファイバーバンド…

もしかしてこれ、Twitterでいい・・・？ ・調和関数単体ではなく、適当な関数とペアにして積を入れ、環にしようというお話。 ・積もコーシーリーマンを満たすことの証明が面倒くさい。 ・調和関数の平均値の定理を使って積の証明ができないか。 ・線積分は、…

・geogebraとか埋め込んでみた。上のはパップスの六角形定理。曲線上のABCDEFをとると、GHIは一直線に並ぶという定理。なんと二次曲線ならいつでも成り立つというのが凄いところ。射影幾何をいろいろ検索してて見つけたおもしろい定理。 ・geogebraがすごい…

・格子は相似なのに、虚数乗法がちがうなんてことあるだろうか。 ・↑生成元について示すことで証明できる。 ・SL(2,Z)の生成元分解は、結局はユークリッドの互除法だ。 ・ランダムとか規則性ってなんだろう。特定の素数pではn²+n+pがずっと素数になることに…

・複素関数の引っかかってたところに一応の落としどころがついたが、後でまだ考えねば。 ・周回積分は扱いやすい。点から点への積分は厄介。 ・たまたま、「関数」「函数」論争を見た。字体の違いではなく、旧字の函に対応するものがなく当て字で関をもって…

・間違えて書いちゃうのが怖い。数値計算で実証できたほうがいいなあ。計算も充実させたい。 ・Abel関数論もやる。円分をCMにもつ場合が気になるから。気になるまとまってる資料がネット上に見当たらないので、頑張るしかない。 ・アーベル積分の積分経路は…

日の過ぎるのがはやい。思ったより数学は進まない。 ・けっこう考えてたことが、あっさりwikipediaに載ってて悔しい。でも考えたことでかなり理解が深まった気がする。 ・℘の微分方程式(℘')²=4℘³-g₂℘-g₃で、ｇ₂とｇ₃は実数になっているとする。右辺＝０の℘の…

ゾロ目の日だ。 ・「基本群とラプラシアン」というpdfを見つけた。勝手に予測変換に出てきたんだが、おもしろそう。ゼータ関数と作用素がどうとかの話らしい。あのおもしろそうなセルバーグゼータが出てくる。 ・グラフの正則関数の話と、リーマン面が代数的…

メモは大事だなあ。 ・楕円曲線の有理点について。有理点Ｐがひとつあったら、加法をつかって２Ｐ、３Ｐ、・・・と有理点を作れるのだった。Ｐがｎ等分点ｎＰ＝∞でなければ、無限に有理点を作れるはず。さらに℘関数での一意化を考えると、ぐるっと廻ってくる…

・A=2π/19として、cosAcos(2³A)cos(2⁶A)=Σ(1/4)cos((1±2³±2⁶)A) ・++はcos3A,+-はcos2A,-+はcos0,--はcos5A. ・cos2*2³A=cos3A, cos2*2⁶A=cos5A となっている。cos2*1A=cos2Aだな。 ・cos(2³*(1+2³+2⁶)A)=cos((2³+2⁶+2⁹)A)＝cos((2³+2⁶-1)A)=cos((1-2³-2⁶)A)…

８月に入った。 ・最近気になってることがいくつか。 ・まずグラフ上の関数としての調和関数。 ・それから、グラフ理論は辺を開集合におきかえれば位相空間論に含まれるかどうか。ベッチ数とか。このへん２つの、直感的な類似とか有限次元での類似とかは大事…