(3/5~)メモ

・ｆを閉リーマン面X上の有理型関数、ｇを閉リーマン面からそれ自身への正則写像とすると、fとｇの合成もX上の有理型関数だから、Xの関数体に属する。よってｆとの代数的な関係式をもつ。例：モジュラー群の基本領域はリーマン球面と見なせ、PSL(2,R)による変換はその正則な変換だから、ｆをモジュラー関数、PSL(2,R)の元をｇとしたとき、f(z)とf(g(z))は代数的な関係式をもつ。
・実数の世界では、整数部分を取り去ってから逆数をとる、という操作で連分数展開をつくることができたが、ｐ進数の世界でも、ｐ進展開したときの、指数が0以下の部分を取り去ってから逆数をとる、という操作で連分数を作れる。
・グロス・スターク予想というスターク予想のｐ進類似が解決したらしい。実二次体の類体を構成していた。このプレプリントの結果は、志村の虚数乗法論のアナロジーを含むらしい。(虚数乗法論のアナロジーで問題が解けた、というわけではなさそう)arxiv.org
・志村の虚数乗法論とは、楕円曲線の虚数乗法の結果を、虚数乗法をもつアーベル多様体に一般化したものだ。
・スターク予想というのがあって、それが正しいとすると、ある条件のもとで、スターク単数というものの添加で類体が構成できるらしい。
・スターク単数を多重ガンマ関数で計算する新谷公式というのがあるらしい。
・スターク予想のｐ進類似は、ℚ上は証明済みだったらしい。(gross,栗原によって)
・このプレプリントの著者は、既に部分的には証明をしていたらしく、いくつかの解説資料がある。日本語の解説:https://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/ha/SS2012/Data/kawamura.pdf
・スターク予想には、少し仮定を増やし主張を弱めた「rank 1 abelian stark conjecture」(ランク１アーベルスターク予想？)というのがあるらしく、それも単にスターク予想と呼ぶようだ。"スターク単数"と呼ばれる概念はランク１のものらしい。類体構成の解を与えるのも、ランク１バージョンらしい。上のプレプリントで扱われているのも、そのバージョンだ。ランク１でないより強いバージョンは非可換スターク予想と呼ばれるらしい。
・元のスターク予想にも、ランク１のスターク予想にも、「テイトによる再定式化」があるらしい。