Posetと隣接代数 - 数学大好き宣言！

今後隣接代数のことを書くとき、毎回定義から始めるのは大変だから、ここにまとめておこう。
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定義
Poset(半順序集合, Partially ordered set) (P,⊰)とは、半順序⊰をもつ集合Pである。二項関係⊰が半順序であるとは、⊰が反射律、推移律、反対称律を満たすということである。つまり、
・任意のt∊Pに対して、t⊰t
・s⊰t かつ t⊰u ならばs⊰u
・s⊰t かつ t⊰s ならs=t

定義(区間、局所有限性)
a,b∊P, a⊰bとする。区間[a,b]とは{p∊P|a⊰p かつ p⊰b}のこと。区間全体の集合をInt(P)と書く。
Pの任意の区間が有限集合のとき、Pは局所有限であるという。

定義(隣接代数)
Pを局所有限なPosetとする。
Pの環R上の隣接代数Ｉ(P,R)とは、関数 f:Int(P)→R 全体のなすR加群に、畳み込みと呼ばれる次の積＊を定めたR-代数である：
(f＊g)([s,u]):= $\displaystyle\sum_{s⊰t⊰u} f([s,t])g([t,u])$
(和が有限となるために、局所有限性の仮定が必要だった)