多変数のcosの積和の公式 - 数学大好き宣言！

いろいろ考えてる過程で、使えるかなーと考えた定理。自明かも。

$\cos A_1 \cos A_2 \cos A_3 \cdots \cos A_n = \displaystyle \sum\frac{1}{2^{n-1}} \cos(A_1 \pm A_2 \pm A_3 \pm \cdots \pm An)$

ただし、和は、符号の組み合わせ全体をわたる和。

例としてn=3のときを確認する。

$A_1 \pm A_2 \pm A_3$ の符号の組み合わせは、＋＋、＋－、－＋、－－の４通りだから、

$\cos A_1 \cos A_2 \cos A_3 \\=\displaystyle\frac{1}{4} \cos(A_1 + A_2 + A_3) \\\displaystyle + \frac{1}{4}\cos(A_1 + A_2 - A_3) \\\displaystyle+ \frac{1}{4}\cos(A_1 - A_2 + A_3) \\\displaystyle+ \frac{1}{4}\cos(A_1 - A_2 - A_3)$

＜証明＞

$\cos A_1 \cos A_2 \cos A_3 \cdots \cos A_n = \displaystyle \sum\frac{1}{2^{n-1}} \cos(A_1 \pm A_2 \pm A_3 \pm \cdots \pm An)$

ただし、和は、符号の組み合わせ全体をわたる和。

例としてn=3のときを確認する。

$A_1 \pm A_2 \pm A_3$ の符号の組み合わせは、＋＋、＋－、－＋、－－の４通りだから、