三角関数のπ/n値には全ての素数の平方根が現れるか

sin(π/3)=√3/2, sin(π/4)=√2/2, マニアックなのではsin(π/10)=(-1+√5)/4, ...と、三角関数の値には素数ｐの平方根が現れ、さらにおもしろいことに、どの平方根が来るかは、分母の素因数分解に関係しているように思われる（４＝２×２の２、１０＝２×５の５）。これを一般化できるだろうか！

今回はこれをx^p-1の判別式を用いて解決することができた！すべての素数pについて解決できる方法を見つけたが、簡略化のために、それをｐが５の場合に適用した解答を書いた。とてもおもしろいと思うのでぜひ読んでみて下さい。

7/26補足：twitterで、同じ公式をより速く証明し、更に一般化して、そこから得られる新しい公式も追加しているのを見つけました。すごいですね。後でリンク貼ります。負けてられないので、今考えているのは、三次の場合への一般化です。

＜概略＞ $x^5-1$ の判別式（すべての解同士の差の積）を、微分を使って計算し（５の５乗と簡単に求まる）、ド・モアブルの定理（オイラーの公式と言っても可）で判別式をsinに変形していく。