の判別式は
。これはいわゆる解の差積の二乗で、本当は深いが今は深入りしない。３次方程式のガロア群がアーベルになるのは、判別式が平方な有理数になるときだという。そのときに根が円分体に含まれることを具体例で見る。最終目標は一般の場合に解決すること。まずx^3-3x+1,これは判別式が-4*(-3)³-27*1=81=9²で平方。解そのものは形が複雑だが、解の一部（解と、一方を他方で簡単に書き表せる関係にある数）は書けて、(p/2 + √D)^(1/3),ただしD=p³/27 + q²/4 となる。今度は既にどの体に含まれるかわかっているもの。ｘ⁶＋ｘ⁵＋ｘ⁴＋ｘ³＋ｘ²＋ｘ＋１=0（7等分方程式）で変数をy=ｘ＋１/ｘを変数に書き換えるとy³＋y²-2y-1=0,さらに計算しやすいよう平行移動などをするとｔ³－２１ｔ－７が得られる。解は７等分体に含まれ、これは判別式が7²＊３⁸で平方数となる。ひとつの共通点がみつかる。pとqの比が3:1(絶対値の比)だ。すなおにp=-3qとして判別式に代入してみると４＊２７q³－２７ｑ²＝２７ｑ²（４ｑ－１）だ。１２ｑ－３を平方にする必要があるなあ。特に全ての場合を尽くすとかの理論的な重要さは見えないけど、計算しやすくていいな。３（４ｑ－１）を計算していって平方になるときを探せばアーベルな方程式をつくれる。ひとつめのケースはｑ＝１で１２－３＝９＝３²、２つめはｑは７で３＊２７＝９²となっている。４ｑ－１＝３ｒ²の整数解だよね。ｑ＝(３ｒ²＋１)/4と変形できて、ｒ奇数のとき分子はいつも４でわれると示せるから、ここにどんどん奇数を代入でどんどん求まる。ｒを２ｒ＋１におきかえちゃうとｑ＝３ｒ²＋３ｒ＋１．ひとつめの例はｒ＝０でｑ＝０＋０＋１＝１、二つ目の例はｒ＝１でｑ＝３＋３＋１＝７となっている。次は１９だな。かなり行き当たりばったりやったけど、ガロア群がアーベルな３次方程式を無数に生成でき、しかも係数もしっかり式でかける方法を手に入れたぞ。理論を進めるのにも役立つだろう。ｔこの形でないケースでも、ガロア群がアーベルになるケース全体を求めようとしたらけっこう大変そう。
