数学大好き宣言！

勉強メモ。おもしろいことを探していきたい。

グラフの調和関数とラプラシアン行列

数学

グラフ理論です。

グラフとは、頂点の集合と、頂点をつなぐ辺の集合の組。考えるグラフは単純グラフとする。単純グラフとは、ループ(両端が同一の点である辺)と多重辺(ある2頂点をつなぐ辺が複数ある状態)のないグラフのこと。

f(x)を(単純)グラフの頂点から実数への関数とする。
頂点aと辺でつながっている頂点の集合をX_aと書く。a自身は含まない。f(x)が調和関数とは、X_aでの値の平均が、aでの値と等しいこと、つまり\displaystyle\frac{1}{|X_a|}\sum_{x\in X_a}f(x)=f(a) (|A|で集合Aの要素数を表すとする)

連結で有限なグラフにおいて、調和関数は定数関数しかない。グラフが連結とは、どんな2頂点の間も、辺を辿ってたどりつけること。次の平均値の性質を使って証明する: 数集合の平均値は最大値より小さく、平均値と最大値が一致するのは、集合のすべての値が等しいときのみ。
証明:f(x)を調和関数とする。グラフは有限だから、f(x)が最大となる頂点が存在する。その1つをaとする。調和関数の定義より、{f(x)|x∊X_a}の平均はf(a)に等しい。平均値の性質より、{f(x)|x∊X_a}の最大値Mはf(a)以上だが、f(a)の最大性より、M=f(a).平均値の性質より、すべてのx∊X_aでf(x)=f(a).次にb∊X_aをとり同様の議論をして、すべてのx∊X_bでf(x)=f(b)=f(a).これを繰り返すことで、すべての頂点xでf(x)=f(a)がわかる(グラフが連結だから)。調和関数は、グラフの連結性を測ると言える。

グラフに付随する行列をいくつか定義する。

グラフの頂点に自然数で番号を振る。i番目の頂点をa_iと書く。
グラフの次数行列Dとは次で定義される行列:\begin{pmatrix}
|X_{a_1}|&  && 0 \\\
   & |X_{a_2}| & &  \\\
   &   & \ddots & \\\
0 &   & &|X_{a_n}|
\end{pmatrix}

ただし、nはグラフの頂点の総数。

グラフの隣接行列Aとは、ij成分が次の\chi_{ij}である行列:
\chi_{ij}=\begin{cases}1(a_iとa_jをつなぐ辺がある) \\0(a_iとa_jをつなぐ辺がない)\end{cases}
ただし、\chi_{ii}=0と定める。

行列というより表のようだが、次のラプラシアン行列を考えると、調和関数との関係が出てくる。

グラフのラプラシアン行列Lとは、L=D-Aで定義される行列のこと。これは解析学のラプラシアン∆の類似で、グラフ調和関数に作用させると０になる:
L{\boldsymbol f}={\boldsymbol o}, ~{\boldsymbol f}=\left(\begin{array}{c}f(a_1) \\f(a_2) \\\vdots \\f(a_n)\end{array}\right)
これは実際に展開すると確認できる：
D{\boldsymbol f}=(|X_{a_i}|f(a_i))_i,\\A{\boldsymbol f}=(\displaystyle\sum_{x\in X_i}f(x))_i,\\L{\boldsymbol f}=D{\boldsymbol f}-A{\boldsymbol f}={\boldsymbol o}
(ただし(w_i)_iで第i成分がw_iの縦ベクトルを表すとする。)

※ラプラシアン行列は、∆というよりは-∆の類似と言われている。

8/31メモ

日記メモ

節目なので振り返ってみる。

・記事数が随分増えたが、たくさん勉強した証ではなく、日記が多いだけ。

・とはいえ数学は高い更新ペースというのは無理だ。勉強には時間がかかるし、勉強したことを書けるほど理解する、嚙み砕く時間もかなりかかる。面白いことを見つけて、それを一つの記事に書くスタイルでも、計算結果や定理、証明などをまとめるのは意外に時間がかかる。

・しかしオイラーが現代に甦ったら、余裕で毎日更新可能だ！（オイラーはブログでなく論文で、数学者だから論文書くのが仕事という違いはある。）オイラーは年間平均800ページも論文を書いており、１日平均2ページ以上だ！30分で論文を書き上げたという逸話もあるという。オイラーのこの多産さや、他にも物理のニュートンの集中力の逸話などを聞くと、自分ももうちょっとは頑張れる気がしてくる。

・テーマ記事の数は勉強の証。たくさん書こう！

・1記事1テーマと違って、箇条書きで日記メモをつけるスタイルは気楽でいい。また実用的だ。備忘録として大活躍してくれる。探し回ったり、結局見つからなかったりすることが無くなった。

↓いつもの↓

・ゼータ関数周辺や楕円関数周辺など、解析の部分は、式をいじっているだけで無限に数学できそうだが、それだけではどうかと思う。

・新しく勉強したことの中から、二次体の整数論、イデアル類群、局所化、分岐など分かりやすくいじりやすい部分が降りてきて、楕円関数周辺のように遊べる土壌となる、しかしようわからん部分は永遠にわからない、みたいな、ファストフード的、いつまでも離乳食みたいな学習ができあがりつつある。よくない。もったいない。遊べる部分はいいのだが。

・それだから、pdfで読んだこととかもすぐ忘れてしまうことになる。基本群計算できません。多面体のホモロジーも忘れてしまった。ルベーグ積分も今できません。

・ベルヌーイ数の、℘関数のローラン展開係数での類似を作りたい。

・η(6τ)η(18τ)の展開係数は乗法的。高度な理論を使わず証明ができるだろう。そんなことに意味があるかは別にして、楽しいじゃないか。

・a²+27b²=pはタイヘン。しかしa²+27b²=4pはどうも楽勝のようだ。なんで？イデアル類群だな。ちゃんと説明したい。

・有理数体も射影化したら、整数の無限素点なんかも分かるようになるんだろうか。

・ゼータ関数の類似をいろいろ計算しても、特殊値が何に使えるの？と考えてみると、素朴には類数公式があり、またベルヌーイ数の因数は正則素数と関わりがある。どうもこのベルヌーイ数のような理論は、「岩澤理論」で深められるらしい。さぞ美しかろう。

・このような幾つかの公式をヒントに、ゼータ関数の類似物をℂ(x)などの簡素な体で作れないかと考えている。

・とにかく類似がつくりたい。ℂ(x)は幾何的解釈がとても効くので重要だ。他にも、より簡素な類似がつくれないかなあと夢想。類数や分岐、ガロア理論、判別式などの類似を含む、簡素な理論が。

・ガロア表現がわかる←→整数論がわかる、の意味が理解できそう。つまり解が表現を与えるということだろう。もうあと１歩。

・テータ関数の指数部分、おそらくいつでも二次。変数が増えることがあるだけで。リーマンテータ関数まで拡張してもそうだろう。

・整係数イデアルを求める問題、分岐理論の類似にもちこんで、デデキントの判別定理の類似で解けないだろうか。似てると思うのだが。

・数論的ゼータ関数で、ハッセヴェイユゼータ関数の定義もスッキリして良い。デデキントゼータ関数も含んでおりすごい。これ一つで数論のゼータ関数は丸わかりだ。代数体のゼータ関数と代数曲線のゼータ関数を統一できるのは本当にえらい。ずっと、何で別物なのに同じような現象が？と思っていたのが解消した。

・グラフラプラシアンの作用を勉強した。これは面白い！よく考えるよな。

・1/zは原点を除いて正則だけど、コーシーリーマンを計算してみたって満たさない。原点さえ無ければ正則なんだ、ということをどう求めるか。→コーシーの積分公式。

・圏論勉強しないとってずっと思っている。まず第一に、群環体と一緒で、言葉として知っておくべきなのだろうから。第二に、興味のある分野の、スキーム論やコホモロジーではふんだんに使われるようだから(いつそこまで到達するのだろう・・・？テンソル積も知らないのに？)。

・複素解析では、有理関数とは、リーマン球の有限個の点を除き正則というだけではだめで、特異点は極であるという条件が必要だった。事実、指数関数は∞をのぞき正則だが、もちろん有理関数でない。その結果、∞で真性特異点をもつ。ではグラフの調和関数では？有理関数にあたるものはあるのか？

・英語wikiによると、ブニャコフスキー予想は、2次以上のケースは、解かれているものゼロ！

・an+bの一般化という意味では、誤った方向の一般化だったということなのだろう。an+bってのはχ(n)の値を指定するもののこと。指標のことばでnの情報を言わないといけないんだろう。とにかく、ゼータ関数(ディリクレ級数)に出てこないとダメだ。出てこないからダメだ。予想としてはおもしろいんだがなあ。

・リーマン面の理論をふんだんに使って、楕円関数論(の、代数的な部分)を書き直したい。どれほど見通しのよくなることだろう。楕円関数の入門は山ほどあるのに、三位一体となると全然ない現状よくない。

・アフィンスキーム普及しろー。

いろいろな乗法的関数の母関数

数学

 乗法的関数とは、自然数の関数であって、自然数a,bが互いに素なとき、f(ab)=f(a)f(b)となる関数のこと。そのような関数の母関数\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}f(n)x^nを(収束は厳密には考察せずに、級数の操作で)考察する。

まず、pを素数として、a(n)=\begin{cases}0(nがpの倍数のとき) \\1(nがpの倍数でないとき)\end{cases}

とすると、これは乗法的関数となる。完全乗法的(互いに素の条件が要らない)でもある。このとき、

b(n)=\begin{cases}1(nがpの倍数のとき) \\0(nがpの倍数でないとき)\end{cases}

(a(n)と0,1が逆) として a(n)=1-b(n)だから、\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a(n)x^n=\sum_{n=1}^{\infty}x^n-\sum_{n=1}^{\infty}b(n)x^n=\sum_{n=1}^{\infty}x^n-\sum_{n=1}^{\infty}x^{pn}\\\displaystyle=\frac{x}{1-x^n}-\frac{x^p}{1-x^{pn}}(x\lt 1)

同様に、集合Pを素数の部分集合として、

a(n)=\begin{cases}0(nがp\in Pの倍数のとき) \\1(nがp\in Pの倍数でないとき)\end{cases}

とすると、\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a(n)x^n=\frac{x}{1-x^n}-\sum_{p\in P}\frac{x^p}{1-x^{pn}}(x\lt 1) ※ここで、右辺の級数が無限のときの収束を考慮していない。

次に,nの素因数分解を2^{e_2}\cdot 3^{e_3}\cdot 5^{e_5}\cdot~\cdotsとしたとき、a(n)=c^{e_2}(cは定数)とする。たとえば、6=2・3よりa(6)=c, 7=2⁰・7だからa(7)=c⁰=1、12=2²・3よりa(12)=c²など。このときa(n)は乗法的で、完全乗法的でもある。この関数の母関数を求めるために、

A_k(n)=\begin{cases}c^{k-1}(nが2^{k}の倍数のとき) \\0(nが2^kの倍数でないとき)\end{cases}

を考える。a(n)=c^mのとき、nを割る最大の2の冪乗は2^mだから、\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}A_k(n)=\sum_{k=1}^{m}A_k(n)=\sum_{k=1}^mc^{k-1}=\frac{c^m-1}{c-1}=\frac{a(n)-1}{c-1}

よって、\displaystyle a(n)=1+(c-1)\sum_{k=1}^{\infty}A_k(n) だから、\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a(n)x^n=\sum_{n=1}^{\infty}(1+(c-1)\sum_{k=1}^{\infty}A_k(n))x^n=\sum_{n=1}^{\infty}x^n+(c-1)\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}A_k(n)x^n\\\displaystyle=\frac{x}{1-x}+(c-1)\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{n=2^kN}c^{k-1}x^{n}=\frac{x}{1-x}+(c-1)\sum_{k=1}^{\infty}\frac{c^{k-1}x^{2^kn}}{1-x^{2^kn}}

次はより知られた関数である、約数関数\sigma(n)=(nの約数の個数)の母関数を求めてみる。これは簡単で、\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}x^{mn}=\sum_{k=1}^{\infty}\sigma(k)x^kとなる。これは\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\frac{x^m}{1-x^m}=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{x^{-m}-1}ともかける。

次に、

f(n)=\begin{cases}1(nが平方数のとき) \\0(nが平方数でないとき)\end{cases}

とする。これはちょっと面白い。a,bが互いに素のとき、ab=m^2ならばa,bはともに平方数となり、逆も明らかに成立。 nが平方数⇔f(n)=1であったから

f(ab)=1\Leftrightarrow f(a)=f(b)=1,否定命題も真だからf(ab)=0\Leftrightarrow f(a)=f(b)=0.よってf(n)は乗法的関数となる(完全乗法的関数ではない)。母関数は\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}f(n)x^n=\sum_{n=1}^{\infty}x^{n^2}  これを、ヤコビの三重積公式を使って変形する。ヤコビの三重積公式から得られる、\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty}x^{n^2}=\prod_{m=1}^{\infty}(1-x^{2m})(1+x^{2m-1})^2の左辺を変形して、\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty}x^{n^2}=1+\sum_{n\neq0}x^{n^2}=1+2\sum_{n=1}^{\infty}x^{n^2}.よって\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x^{n^2}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\prod_{m=1}^{\infty}(1-x^{2m})(1+x^{2m-1})^2となる。

 

 

8/23,24メモ

日記メモ

・複素力学系おもしろすぎる。外射線と、周期点の分類理論がおもしろい。

・二乗の総和の式の図形的解釈、対称性を使ってる。対称性に着目して何か一般化できそう。考えないとわからないけど。

 ・よく考えたらこれだな↓

 空間の次元を上げる一般化ができるかなあ。

・平面の敷き詰め理論に出てくるベクトル図が、η商で無限和＝無限積の展開公式をつくる理論に出てくるやつと同じ。なんだろう。ちなみに無限和＝無限積の公式から、ムーンシャイン予想が解決したらしい。フィールズ賞らしい。

www.nicovideo.jp

https://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/ha/Data/kyushu.pdf

・お酒と数学かー。やっぱり数学の「ちょっと気になる」話は、ボーっとしつつテキトーに聞けたほうがいいよなー。

・アデールってよくわかんなかったけど、ℤをスキームと見てリーマン面との類似を見ればわかりそう。正則関数だと思うんだよな。いや、任意の関数かも。ともかく、類似と見れば、動機や指針もわかりやすい。

・類似のいい使い方だなあ。スキーム勉強してから本当にらくになった。学び得。

・アデール上で調和解析するといろんなことがわかるらしい。すごいなあ。

・作用素と関連したゼータ関数の話も勉強したいなー。「基本群とラプラシアン」pdfにセルバーグゼータのグラフ類似が載っているおかげで、現在の知識で知れそう。

・知りたいこと（知りたくてかつ知れそうなこと）は沢山ある。いくら勉強しても足りないなあ。でも、情報不足で知りたいことすら少ないときもある（すべての知りたいことに歯が立たないこともある）から、それと比べると幸せだな。

・層というのは、空間に追加の性質をつけるのかあ。例えばスキームだと、ふたつのスキームが位相空間として同型だからといって、スキームとして等しいとは限らない。

・位相幾何に近い分野の層の使い方だと、あえて位相空間に追加情報を殆どor全くつけないのもあるようだ（例：接ベクトル場の切断の層。なめらかさのみ仮定する。）。けど、複素解析の話などは、層による追加情報が本質的だろう。ないと何も始まらないよね。

・とは言っても、直接的に点にどうこうはできず、あくまでもとは位相空間でないといけない。

・数学に興味をもったけど、いざ何を勉強すればいいか聞きにいくとトンデモナイことになって・・・という人はよく見る気がする。それで中学高校数学からというのもなんだかなあ、そういう人に限って中学高校の数学が苦痛だった人だったりして、かわいそうというか、そうでないにしても、まともに教科書の類で勉強したら数年かかるだろというものなのに、教科書を薦められたりしていて、もっと違う方法ないかなあ、何か手助けしたいなあと思う。

・いや前言撤回。そういう人らの興味あることときたら、ガロア理論やらゼータ関数やらナンチャラ予想やら不完全定理やら。派手好き、驚きの現象好きなだけ（自分に言ってるようにも感じる）。そこに知りたいことそのものを教えてあげることはない。でも突き放すべきとは思わない。興味があることには変わりないから、知りたがってるそのものを教えずとも、うまく導入できれば楽しんでくれそうだし、満足してくれそう。

・スキームで考える層は、関数の環を対応させる。そこで「どんな関数」に限るかがおもしろいところ。ℂ(x)では、代数関数に限るとも言えるけれど、無限遠をつけると、有理型関数と言えるのがおもしろい。

・環の素イデアルから作る場合、どんな関数に限るかと言われると難しいな。

・ベクトル系の話は案外難しい。η商まで見ようとすると。リー群の表現ならがんばればいけるのかな？

・正則とはローラン展開できること。ℤでも一種のローラン展開を考えれば、正則がわかるだろうか。

・ｐ進展開のことだろう。しかし、spec(ℤ)上の関数がp進展開可能とは？

・「一点での値」と「局所的な様子」の違いに難しさがあると思う。

・局所的な様子は茎、芽で見る？いや、それでもおかしい。局所化は有理数ありきで、既に「有理型関数」全体が分かっていることになる。

・ファイバー束を勉強。（基本的な概念を見るだけ）

・短めの文献を小一時間で読めるようになりたい。知りたいことがあるときに、数打ちゃ当たるできる。→いやでももしかするとその願望はわがままで、時間感覚、忍耐力を長くとるのが正解なのかもしれない。

・Böttcher座標という、ある関数方程式を満たす正則関数がある。この関数の性質や、値を計算すると、力学系のことがわかる。写像fを、2乗写像と見なせるようにするような関数。

・勉強したり考えるとき、「要するに何がしたいの？」「どんなものだというイメージをもってる？」のような、思ってることハッキリさせないと、迷走したりする。フィーリングフィーリング。

・英語版wikiの充実度すごい。external ray(複素力学系の)が載ってる。

・三角関数の等分値の対称式を求めようと思う。「三角関数の不思議な等式」問題は簡単だと、この際ハッキリさせよう。

・チェビシェフ多項式の漸化式と微分方程式を使って求めるつもり。それだと特殊値についてしかわからないから、xの入ったバージョンを後で考えるつもり。

8/21メモ

日記メモ

・微分形式とは何か、とりあえず知りたい。ストークスの定理とかベクトル解析調べてて見つけた、あと以前からきいたことが。←層とも関係？

・確率過程で引っかかっていたところ、解決できそう

・共形場理論？ファイバーバンドル ・構造群？ファイバーバンドルとだけ調べると工学も出てくる。ひものたばだからね。

・局所と大域っておもしろいなあ。いろんなところで出てくるのもそうだし、その考え方自体なんか楽しさを感じる。

・線形代数ってすごいのかー。コホモロジー理論は位相空間・多様体の圏からベクトル空間の圏への関手？

・層は開集合の圏からベクトル空間の圏への関手なの？え？？

・ベクトルバンドルもそうらしい！層の類似がみたけりゃベクトルバンドルを見ればいいのかー。←微分形式が関係しそう

・多様体の上の調和解析って、閉リーマン面の上の正則関数みたいなノリかな？

・↑ホッジ理論とか言うらしい。p進版もあるらしい。なんかリジッド解析幾何の導入に出てくるやつのことかな。頓挫したけど。ホッジ・アラケロフ理論とは望月新一先生がつくった理論。

・ド・ラームコホモロジー：微分幾何のコホモロジー。ド・ラームの定理で普通のコホモロジーと対応するという。

・エタール・コホモロジーで類似があるらしい。

 

・そうか。局所化は線形化とも言えるのかー。

・テンソルで空間の曲がり具合をとかって聞いたことがあったが、接空間を考えてどうこうするらしい。

・リーマンがたくさん出てくる。

・リーマンロッホもいろんな幾何学に一般化されてるらしい。

・ゲージ理論とか相対性理論が知りたくなったら、いろいろ検索すれば解説はちゃんとありそう。

・ヴォイタ予想知りたい。

 

8/20メモ

日記メモ

もしかしてこれ、Twitterでいい・・・？

・調和関数単体ではなく、適当な関数とペアにして積を入れ、環にしようというお話。

・積もコーシーリーマンを満たすことの証明が面倒くさい。

・調和関数の平均値の定理を使って積の証明ができないか。　

・線積分は、tの変化で、速さみたいなのを一定に保つために、長さとかを求めるのかな。単純な一直線の積分でも、曲線の方程式をx=t²,y=0にして、そのまま代入して積分したら値が変わっちゃう。

・離散的な正則関数という、おもしろいものを見つけた。

https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/27/3/27_3_193/_pdf/-char/ja

・和が経路によらないようにする工夫がおもしろい。

・離散解析関数(Discrete Analytic Functions)の解説pdf:

https://web.cs.elte.hu/~lovasz/analytic.pdf

・格子なのが残念というか、自分としては格子を超えて考えたいのだけど、それでもこれは大いに参考になるだろう。今日はこれをこなそう。

・ところで。有限幾何≈有限体の射影空間。これ面白そうだなあ。点が有限個でも、直線を考えたり。見た目からおもしろそう。

・さて、「勉強した」「わかった」って何なんだろ。頑張って教科書うつして証明追って勉強したことも、まったく頭に残ってなかったなんてことはよくある。一方で、長期間の勉強でもピンとこなかったものが、たったひとつの例示や喩えや言い換えなどで生き生きと見えてくる、わかってくることがある。勉強を始めるとき、ひとまずは何をすればいいのだろう。普通にがんばるので十分なんだろか。

 ・ひとつのきっかけでわかったなんて言って、本当は"気がする"だけかも。たとえば今自分はイデアルを分かるようになったつもりでいるけど、分からない部分(分解の一意性を証明する部分)から逃げて、ちょこっと具体例を計算しただけだ。わからなさを感じた根本原因をとりのぞかず、苦手という意識だけ具体例で紛らわしている。

・難しい(主観)素イデアル分解の一意性を証明できずとも、イデアルの定義は簡単で理解でき、定義がわかれば自分で操作でき、自分で操作できると分かった気がするということだ。もしも定義の難しい概念に出会ったら、たちまちダウンだ。

・機械や道具を使うのに似ている。

・離散解析関数にはものすごく興味があるけど、いったん振り出しに戻して見つめる。

・「層」が元は解析の概念だとはじめて知った（偏微分方程式が発祥by wikipedia）。それで考えると、スキームとはほぼ微分幾何なのでは？複素解析：ただの空間に、さらに局所的に正則関数をくっつけて考える(?)。スキーム論：ただの空間に、さらに局所的に環をくっつけて考える(?)。微分幾何：ただの空間に、関数と微分、曲率などをくっつけて考える(?)。

・つながってきてすごい・・・。微分幾何は物理のすごい理論に応用されているらしいし、ポアンカレ予想も、微分幾何を使って、多様体の崩壊？を観察して解かれたらしい（崩壊は関係ないかも）。なんだか一気に、自分にとっての地図が広がった印象。偏微分方程式のこと全く知らなかったけど、これで少し親近感がわくかも。

・問題意識も広がることになる。相互に「類似は何か？」を考えて。

・類体論と電磁気が対応するという話も、かなり学習すべきというモチベーションが出る。

・p進幾何とかの気持ちもわかりそう。

・空間の被覆の話で、空間に環やら代数がくっついたらガロア理論？

・ただの位相空間が一番、無の状態なのか？

・層の定義を見た。「集合への対応」って、抽象レベルが高すぎる。加群でも環でもいいよ、と。行くとこまで行った感ある。

・sheaf(層)で検索して出てきた画像↓

f:id:mochi-mochi61:20200820193201j:plain

・このへんのキーワードの訳語が大体全部「たば（束）」。大丈夫なのか・・・？

・数学は、背伸びもいいね。

・射影平面の基本群が位数２の群なのを使って、おもしろい層がつくりたいです。なんて、ムリかなあ。

・局所的な連続関数体は一致なのに、そのまとめあげ方で全体の形が変わる感じがおもしろい。

8/19メモ

日記メモ

・geogebraとか埋め込んでみた。上のはパップスの六角形定理。曲線上のABCDEFをとると、GHIは一直線に並ぶという定理。なんと二次曲線ならいつでも成り立つというのが凄いところ。射影幾何をいろいろ検索してて見つけたおもしろい定理。

・geogebraがすごいのかgeogebraしか知らないだけか。

・位置エネルギーの関数f(x,y)に対して、点(x,y)で受ける重力は-grad(f)。

・保存力とは、ポテンシャルの定義できる力といえる。力の場があったときに、その力を与えるような”地形”、"デコボコ"があるか？という問題になる。この答は、ベクトル場の回転rotが0ならある、となる。周回積分が０ならいいから、それの微分形だ。こうして数式になると嬉しい。

・これは渦なし流れともとれるのか。なんだか不思議だ。渦なしと非圧縮で丁度反対のようなことになってるのか。

・ちなみに複素関数をベクトル場と見なすと、コーシー・リーマンの関係式より、保存力となる。こっちは余計な第二関係式があるが。

・電磁ポテンシャルは、余計なベクトルポテンシャルＡをくっつけたら、スカラーポテンシャルΦが定義できたよーってことなんだろうか。

・回路の電流はある意味でrotもdivも0だな。rot0から導かれるポテンシャルが電位。じゃあdiv0から導かれる"流れ関数"は何だ。

・↑見つけた！今度は面だ！面を定義域とするスカラー関数があって、となりあう面での値との差が、共通辺での電流を与えてくれる。

・なんだか電流と磁場の関係に似ている。

・グラフの辺の関数から頂点や面の関数ができることが、双対っぽさある。

・電流、rotもdivも0となると、正則関数っぽいが、どうなのだろう。どう扱えばいいのだろう。微分とか。

・「基本群とラプラシアン」で、有限正則グラフのゼータ関数を知った。素な測地サイクルという特別なサイクルの集合を考えるのだ。

 ・特異点解消のグラフができた。発想がすごいな。

・↑のグラフは、x³-3xy²-y⁴=0の特異点の解消。まず、z=y/xに投影する(x³-3xy²-y⁴=0かつz=y/xという曲線にする)。すると、見る向きを変えることで特異点がなくなることがわかるので、適当な見方を採用して二次元に戻す。

・うまく特異点の消える原理がイマイチわかってない。

・確率の「マルチンゲール」と調和関数が結びつくらしい。確率おもしろそうって思えてきた。あとvojta予想のvojtaの名前も出てきた。とても気になる。→似た者同士の数学 | 慶應義塾大学理工学部

・a=(b+c)/2,b=(c+a)/2,c=(a+b)/2のとき、a=b=c.有限集合での調和解析、何とかスタートできそうだ。

・調和関数の全体はただのベクトル空間だけど、複素数使って正則関数にすると環、極を避ければ体なの凄い！

最大公約数の問題で考えたことまとめ

数学

前回のこの記事で考えた問題について、

mochi-mochi61.hatenablog.com

こちらの記事も参考にしつつ続きを考えてみた。

egory-cat.hatenablog.com

その①: (x+1)^p-t,x^p-tの終結式(p:素数)を求めた(tの多項式として求めた)。答えから書くと、 \displaystyle {\bf -}\prod_{0\lt k\lt p}(t(\zeta^k-1)^p -1)となった。(※ただし、(x+1)^p-t,x^p-tのどちらの解を引かれる側、引く側にするかで、(pが奇素数のとき)符号が入れ替わる)

(x+1)^p-tの根は\sqrt[p]{t}\zeta^i-1,x^p-tの根は\sqrt[p]{t}\zeta^j(ζは１の原始ｐ乗根,i,jは整数)だから終結式をfとおくと

f=\displaystyle\prod_{0\leq i,j\lt p}(\sqrt[p]{t}\zeta^i-1-\sqrt[p]{t}\zeta^j) =\displaystyle \prod_{0\leq i,j\lt p}\zeta^j(\sqrt[p]{t}(\zeta^{i-j}-1)-\zeta^{-j})  =  \prod_{0\leq k\lt p}\prod_{0\leq j\lt p}\zeta^j(\sqrt[p]{t}(\zeta^{k}-1)-\zeta^{-j})

\displaystyle\prod_{0\leq j\lt p}\zeta^j = 1だから、 f=\displaystyle\prod_{0\leq k\lt p}(t(\zeta^k-1)^p -1),~k=0のとき積の中身は-1だから、  f=\displaystyle {\bf -}\prod_{0\lt k\lt p}(t(\zeta^k-1)^p -1)

よって f(t)=0の解は \frac{1}{(\zeta^k-1)^p}~(kは0\lt k\lt pの整数)

x^p-\frac{1}{(\zeta^k-1)^p}は \displaystyle\prod_{n=0}^{p-1}(x-\frac{\zeta^n}{\zeta^k-1})と因数分解される。もし \zetaが \frac{1}{(\zeta-1)^p}の有理式で表せれば、この分解は体 {\mathbb Q}(\frac{1}{(\zeta-1)^p})={\mathbb Q}(t)/(f(t))で実現できることになる。

\frac{1}{(\zeta-1)^p}が、 \zetaを \zeta^n(nは1≤n≤p-1の整数)に置き換えるどの自己同型でも不変でないなら、 {\mathbb Q}(\frac{1}{(\zeta-1)^p})={\mathbb Q}(\zeta)だから、 \zetaは \frac{1}{(\zeta-1)^p}の有理式で表せることになるはずだけど、どうだろう。

その②: sageで整数係数グレブナー基底を計算してみた。グレブナー基底は名前しか知らないが。

n=0から9までの,イデアル(x^3+n,(x+1)^3+n)の整数係数グレブナー基底↓

[1]
[x^2 + 13*x + 1, 2*x + 4, 14]
[x + 58, 109]
[x^2 + 115*x + 1, 2*x + 10, 122]
[x + 223, 433]
[x^2 + 325*x + 1, 2*x + 16, 338]
[x + 496, 973]
[x^2 + 643*x + 1, 2*x + 22, 662]
[x + 877, 1729]
[x^2 + 1069*x + 1, 2*x + 28, 1094]

n=0から29までの、イデアル(x^4+n,(x+1)^4+n)の整数係数グレブナー基底↓

[1]
[x^2 + x + 47, 3*x + 27, 51]
[x^2 + x + 25, 7*x + 119, 231]
[x^2 + x + 380, 11*x + 275, 539]
[x^3 + 54*x^2 + 151*x + 184, 5*x^2 + 80*x + 55, 15*x + 105, 195]
[x^2 + x + 466, 19*x + 779, 1539]
[x^2 + x + 2013, 23*x + 1127, 2231]
[x^2 + x + 311, 27*x + 1539, 3051]
[x^2 + x + 2806, 31*x + 2015, 3999]
[x^3 + 404*x^2 + 911*x + 989, 5*x^2 + 460*x + 265, 35*x + 525, 1015]
[x^2 + x + 1892, 39*x + 3159, 6279]
[x^2 + x + 6859, 43*x + 3827, 7611]
[x^2 + x + 917, 47*x + 4559, 9071]
[x^2 + x + 7472, 51*x + 5355, 10659]
[x^3 + 1074*x^2 + 2311*x + 2434, 5*x^2 + 1160*x + 635, 55*x + 1265, 2475]
[x^2 + x + 4278, 59*x + 7139, 14219]
[x^2 + x + 14585, 63*x + 8127, 16191]
[x^2 + x + 1843, 67*x + 9179, 18291]
[x^2 + x + 14378, 71*x + 10295, 20519]
[x^3 + 2064*x^2 + 4351*x + 4519, 5*x^2 + 2180*x + 1165, 75*x + 2325, 4575]
[x^2 + x + 7624, 79*x + 12719, 25359]
[x^2 + x + 25191, 83*x + 14027, 27971]
[x^2 + x + 3089, 87*x + 15399, 30711]
[x^2 + x + 23524, 91*x + 16835, 33579]
[x^3 + 3374*x^2 + 7031*x + 7244, 5*x^2 + 3520*x + 1855, 95*x + 3705, 7315]
[x^2 + x + 11930, 99*x + 19899, 39699]
[x^2 + x + 38677, 103*x + 21527, 42951]
[x^2 + x + 4655, 107*x + 23219, 46331]
[x^2 + x + 34910, 111*x + 24975, 49839]
[x^3 + 5004*x^2 + 10351*x + 10609, 5*x^2 + 5180*x + 2705, 115*x + 5405, 10695]

n=0から39までの、イデアル(x^5+n,(x+1)^5+n)のグレブナー基底↓

[1]
[x^2 + 75*x + 53, 11*x + 22, 341]
[x + 12168, 52501]
[x + 236008, 258751]
[x + 480472, 810001]
[x + 1435391, 1968751]
[x + 3153094, 4072501]
[x + 6858638, 7533751]
[x + 7601852, 12840001]
[x + 5626316, 20553751]
[x^2 + 2832284*x + 2839123, 11*x + 1736251, 2846591]
[x + 37858, 45828751]
[x^2 + 30853*x + 15992, 11*x + 3490091, 5899091]
[x + 65050651, 89358751]
[x + 49239490, 120172501]
[x + 14490829, 158343751]
[x + 46698248, 204960001]
[x + 71371576, 261183751]
[x + 134450870, 328252501]
[x + 37238459, 407478751]
[x + 386784174, 500250001]
[x^2 + 1859367*x + 927103, 11*x + 2895013, 55275341]
[x + 366478841, 732352501]
[x^2 + 79416940*x + 79472556, 11*x + 3803228, 79530341]
[x + 236111008, 1037160001]
[x + 1110529223, 1221093751]
[x + 844596812, 1428472501]
[x + 1208711106, 1661208751]
[x + 1485256934, 1921290001]
[x + 2010491853, 2210778751]
[x + 1496838192, 2531812501]
[x + 788102031, 2886603751]
[x^2 + 146249*x + 74130, 11*x + 159215991, 297949091]
[x + 1021073, 3706683751]
[x^2 + 379623968*x + 379664745, 11*x + 202137331, 379706591]
[x + 3412286366, 4690218751]
[x + 2148893330, 5249610001]
[x + 533949044, 5857608751]
[x + 1482684588, 6516952501]
[x + 1973627291, 7230453751]

法則性がわかりやすが、なぜ、こうなるのだろう。

gcd(f(n),f(n+1))と代数的整数論

数学

※8/17 もう少し考察してみました

mochi-mochi61.hatenablog.com

※筆者は整数論の初学者で、誤りや、回りくどい論述などがあるかと思います。発見したら指摘していただけると助かります。

こちらのツイートで提示され

 こちらのブログで考察されている問題

egory-cat.hatenablog.com

で、不思議な現象を見つけたので、報告と、代数的整数論を使った考察をしてみた。

まず不思議な現象を紹介する。x⁵+5と(x+1)⁵+5の終結式Res(x⁵+5,(x+1)⁵+5)を計算すると、-1968751. この1968751は、n⁵+5と(n+1)⁵+5の最大公約数がとりうる1でない唯一の値そのものとなっているのだ。wolframで計算した。

www.wolframalpha.com

以下なぜそうなるかの考察。

※追記：以下の長い議論はせずに、次のような初等的考察もできる：f(n)とg(n)がともにpで割れる⇔f(n),g(n)≡0(mod p),これはfとgが有限体𝔽ｐで共通根をもつということ、すなわち終結式が𝔽ｐで0(pで割り切れる)ということだ。

モニック多項式f(x),g(x)の終結式は \prod_{i,j}(\alpha_i-\beta_j)(ただし \alpha_iはf(x)の)根, \beta_jはg(x)の根で、積は根の組み合わせ全体をわたる)だから、これに関連付けていく。

K={\mathbb Q}(\zeta_5,(-5)^{\frac{1}{5}})~(\zeta_5は1の原始5乗根)とし、 O_KをKの整閉包とする。x⁵+5=0の根を \alpha_i(i=1,2,3,4,5),(x+1)⁵+5=0の根を \beta_j(j=1,2,3,4,5)とする。n⁵+5と(n+1)⁵+5はともにK上で１次式の積まで因数分解されるから、 O_Kの素イデアル𝖕が、イデアル(n⁵+5)と( (n+1)⁵+5)をともに割り切るとすると、あるi,jが存在して𝖕|(n - \alpha_i)かつ𝖕|(n - \beta_j)となる。このとき(n - \beta_j)-(n - \alpha_i) =\alpha_i-\beta_j∊𝖕だから、𝖕|(\alpha_i-\beta_j). よって𝖕|( \prod_{i,j}(\alpha_i-\beta_j))=(Res(x⁵+5,(x+1)⁵+5))=(1968751). 1968751は有理素数だから、(n⁵+5)∊𝖕⋂ℤ=(1968751).よって1968751|(n⁵+5). 同様に1968751|((n+1)⁵+5). よってn⁵+5と(n+1)⁵+5が互いに素でない⇒1968751が公約数 がわかった。

終結式が有理素数であれば、同じ手法を使うことができるため、次はn⁵+5と(n+1)⁵+5の終結式がなぜこのような大きな素数となるのかが知りたい。n¹⁷+9と(n+1)¹⁷+9でも同様の現象が発生する(↓のツイート参照)ようなので、何か隠された原因があると思われる。

 

終結式をのせておく。

Res(x⁵+a, (x+1)⁵+a)= －(5⁵a⁴+5⁴a²+1)

Res(x⁶+a, (x+1)⁶+a)= 6⁶a⁵+3³*5*11*61a⁴+2²*10303a³-6*11*41a²+6*2a+1

Res(x⁷+a, (x+1)⁷+a)= －(7⁷a⁶ + 3*17*7⁶a⁴ + 5*7⁴a² + 1）

Res(x¹¹+a, (x+1)¹¹+a)= －(11¹¹a¹⁰ + 2*3*11¹⁰*554839*a⁸ + 11⁸*1399*51631*a⁶ + 11⁶*47*79*271*a⁴ + 5*11⁴*53*a² +1)

8/13メモ

日記メモ

・格子は相似なのに、虚数乗法がちがうなんてことあるだろうか。

・↑生成元について示すことで証明できる。

・SL(2,Z)の生成元分解は、結局はユークリッドの互除法だ。

・ランダムとか規則性ってなんだろう。特定の素数pではn²+n+pがずっと素数になることについて、「そんな素数も存在する」で終わって有限性や類数との関係を言わなかったら、別にたまたまでしょで終わってしまう気もすれば、それで既に「法則がある」と言える気もする。

・気がしても、定理がないと数学としてはだめだろう。

・たとえばn²+n+pについて、値を実際に代入して素数か確かめていては定理は見つからない。計算せずに素数性を証明する方法を見つけたならば、数学として「法則あり」と言えるのに近い。

・たとえば二平方和定理は初等的証明が可能だが、その証明中にも、類数１に対応する性質を使ってる部分がちゃんと識別できた。（知らないと技巧的変形にしか見えない！）その方法が通用する条件を書いたら、それは類数が１になる条件となっているはず。これはある意味類数を発見していると言っていい気がする。たまたまうまくいったのではない、「法則あり」だろう。

・j不変量が全ての複素数値を１回だけとることの証明は竹内端三に載っている。

・微分方程式が整数係数であって、かつ虚数乗法をもつ℘関数の虚数乗法は、類数１に限るといえそうだ。意外な定理。

・特異点解消がおもしろそう。平面交差（特異点）を、浮かして立体交差にして取り除こうという発想らしい。代数と幾何を使うかんじがすごい。

・射影空間を位相幾何的に調べるのをちゃんとやりたい。

・なんと基本群がℤ/2ℤらしい。どうなってるのか知りたい。

・展開図のまわりを一周すると基本群が求まるやつ、原理がイマイチよくわからない。

・a+n^kとa+(n+1)^kのgcdを求める問題、流行っているのか。nを上げていくと突然大きな値になる現象。最近マイブームの代数的整数で解決したくなってしまう。どう考えるといいだろうか。

・y=(tanθ)xとy=(tan(Nθ))x+1の交点の軌跡に特異点が出る。リサージュ曲線などと合わせて、こういう三角関数の関わるグラフの特異点が気になる。倍角公式を使えばどちらも代数曲線で、特異点解消を学んだら、試し斬りに使えるだろう。

・曲率とラプラシアンに関係があるのか。おもしろい。やはり早く調和関数関係を勉強したいな。

・勾配を積分すると高さになる。高さは各点で１通りに決まらなければならないから、勾配と呼べるものは周回積分が０でなくてはならない。

8/11・8/12メモ

日記メモ

・複素関数の引っかかってたところに一応の落としどころがついたが、後でまだ考えねば。

・周回積分は扱いやすい。点から点への積分は厄介。

・たまたま、「関数」「函数」論争を見た。字体の違いではなく、旧字の函に対応するものがなく当て字で関をもってきたらしい。函はハコ的な意味で、「ハコにものを入れると別物になって出てくる」イメージらしい。関数は一対一とは限らないんだから、「関」係性や対応を意識させる呼び方は微妙だと思う。定義域と値域を意識させる、「写像」とか矢印記号みたいなのが好きかなあ。まあ場合によるか。

・関数といえば漠然と連続で微分可能みたいな、「普通（？）」な感じをイメージしてた頃からは進歩したと言えるのかな。単に記号の流用の話とも言えるか。

・定期的に楕円関数のことを考えてる。別に狙ってやってはないのに、何かと縁がある。

・虚数乗法をもつと考えてる楕円曲線をつくったときに、それが実際に虚数乗法をもつことはきちんと示せる。

・ランデン変換や相加相乗平均は、ただの式変形の技巧ではないようだ。奥が深い。

・前になんかの本で、「球面上は、ドーナツ🍩型の表面と違って、「流れ」に必ず「つむじ」ができてしまう」と聞いた。こういうことは何学にあたるのか。「地球上に必ず無風地点あり」と同じだと思うのだが。

 ・圏論は「ホモロジー代数」というのから生まれたらしい。トポロジーの内容だ！知らなかった。無知が恥ずかしい。

・多面体？の一次元ホモロジーはわかった気がする。二次以上はイメージがつかない。イメージするものではなく、機械的に計算するものなのかもしれない。

・前に充填ジュリア集合をいろいろ調べた（計算した）。法則は見つけられたのだが、理論がお留守で、ただのgeogebraの練習になってしまっていた。いずれ再び手をつけたい。

・圏論とホモロジー群にビビッている。

・楕円関数の周期の比をτとし、τ=(a+bα)/(c+dα) (ただしad-bc=1)ならば、α=(d-bτ)/(-c+aτ)だから、周期のとり方を変えればαは周期比か。おかしいなあ。周期のとりかた変えるだけで性質変わるかなあ。

・虚数乗法をもつとしたら虚二次無理でさらに整でないといけない？

バーゼル問題の楕円関数類似

数学

※8/13 重大な間違いがありました！！それにより答えが16倍ずれていました。訂正しました。

バーゼル問題： \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}(ゼータ関数の特殊値)を一般化する。

y^2=4x^3-ax-bを虚数乗法をもつ楕円曲線とし、右辺＝０の根を e_1,e_2,e_3とする。３点が一直線上にある場合は、 e_1,e_2,e_3の順(e_2が e_1,e_3の間)に並ぶように添字を選ぶ。

\omega_1 = \displaystyle \int_{e_1}^{e_2}\frac{dt}{\sqrt{4t^3-at-b}}, \omega_2 = \displaystyle\int_{e_2}^{e_3} \frac{dt}{\sqrt{4t^3-at-b}}

とおく。ルートの偏角や分岐切断線の設定は、積分経路上が正則となればどうとってもよい。

虚数乗法をもつことより、 \displaystyle\frac{\omega_2}{\omega_1}は代数的数(虚二次無理数)で、これを \alphaとおく。ワイエルシュトラスの楕円関数論で、

\displaystyle\sum_{(m,n)\neq(0,0)}\frac{1}{({\bf 2} m\omega_1+{\bf 2} n\omega_2)^4} =\frac{a}{60}が知られているので（訂正箇所）、変形して

\displaystyle\frac{1}{16\omega_1^4}\sum_{(m,n)\neq(0,0)}\frac{1}{(m+n\frac{\omega_2}{\omega_1})^4} =\frac{a}{60}より

\displaystyle\sum_{(m,n)\neq(0,0)}\frac{1}{(m+n\alpha)^4} =\frac{16a\omega_1^4}{60}=\frac{4a\omega_1^4}{15}これが目的だった式で、バーゼル問題の類似となっている。

同様に、=\displaystyle\sum_{(m,n)\neq(0,0)}\frac{1}{(2m\omega_1+2n\omega_2)^6} =\frac{b}{140}が知られているので、全く同じ変形により

\displaystyle\sum_{(m,n)\neq(0,0)}\frac{1}{(m+n\alpha)^6} =\frac{4b\omega_1^6}{35}

より高次の級数については、アイゼンシュタイン級数の漸化式で求めることができる： G_k=\displaystyle\sum_{(m,n)\neq(0,0)}\frac{1}{(2m\omega_1+2n\omega_2)^{2k}} , c_n=(2n-1)G_nとおくと、 (n-3)(2n+1)c_n=3\displaystyle\sum_{k=2}^{n-2}c_kc_{n-k}

具体例を計算してみよう。 y^2=4x^3-xの場合を計算する。右辺の零点は0,1/2,-1/2の3つ。

\omega_1 = \displaystyle \int_{-\frac{1}{2}}^{0}\frac{dt}{\sqrt{4t^3-t}}とおくと、これは実数の世界で計算ができ、 \omega_1 \approx 1.85407となる。

一方 \omega_2 = \displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{dt}{\sqrt{4t^3-t}}は t=-s の変数変換によって \omega_2 = \displaystyle i\int_{0}^{-\frac{1}{2}}\frac{ds}{\sqrt{4s^3-s}}=-i\omega_1となる。よって \alpha = \frac{\omega_2}{\omega_1} = -i.

実際に \displaystyle\sum_{(m,n)\neq(0,0)}\frac{1}{(m-ni)^4} を計算してみると3.151ほどとなる。

\displaystyle\frac{4\omega_1^4}{15}も計算してみると3.151ほどとなり、

\displaystyle\sum_{(m,n)\neq(0,0)}\frac{1}{(m-ni)^4} =\frac{4\omega_1^4}{15} ~~(\omega_1 = \displaystyle \int_{-\frac{1}{2}}^{0}\frac{dt}{\sqrt{4t^3-t}})

が成り立っていることが確認できた。アイゼンシュタイン級数の検算には、楕円テータ関数による表示を用いている。修正前は別のω１、ω２でのg₂を用いて計算していたため、循環論法のようになり誤りを見逃しました。

8/10メモ

日記メモ

・間違えて書いちゃうのが怖い。数値計算で実証できたほうがいいなあ。計算も充実させたい。

・Abel関数論もやる。円分をCMにもつ場合が気になるから。気になるまとまってる資料がネット上に見当たらないので、頑張るしかない。

・アーベル積分の積分経路は如何なるか。

・複素解析かなり好きかもしれない。

・複素解析やるには絵が必要・・・

・誤った理解を改めることができた。分岐切断線は、√zを決めとけば√f(z)もそれに従うようにするというようなものではない。まずはじめに分枝（ぶんし）と分岐点があって、それをいろいろいじりながら、１価にできるように工夫して分岐切断線がつくられる。どんな時も通用するうまいとり方もあるのかもしれないが、それはわからないことだし、今の自分の問題意識上は不要と思われる。

 ・ある領域で正則⇒解析接続でじわじわ定義域を広げられる。しかし、「そこへ至る経路」に依存して、ある点での値は多義的になりうる。極は「穴」として通れないとすれば、経路がホモトピー同値（ホモトープ）⇒値は等しい、が言えるんだろうか。

・分岐点が問題なのだ。分岐点以外の点ではテイラー展開はできる。

 ・考えるテーマがなくて困る時期もあれば、テーマを思いつくスピードに考えるスピードが全然追いつかず困る時期もあって忙しい。

 

8/9

日記メモ

日の過ぎるのがはやい。思ったより数学は進まない。

・けっこう考えてたことが、あっさりwikipediaに載ってて悔しい。でも考えたことでかなり理解が深まった気がする。

・℘の微分方程式(℘')²=4℘³-g₂℘-g₃で、ｇ₂とｇ₃は実数になっているとする。右辺＝０の℘の解をｅ₁，ｅ₂，ｅ₃とする。全て実根ならｅ₁＞ｅ₂＞ｅ₃，実根１つ複素２つなら虚部正をｅ₁負をｅ₂実根をｅ₃と決めると、℘（ω₁／２）＝ｅ１，℘（ω₂／２）＝ｅ₂，℘（（ω₁＋ω₂）／２）＝ｅ₃

ただしω₁、ω₂はω₂／ω₁の虚部が正になるとりかた。

・調和関数を、正則関数にすることで、調和関数についてよくわかるということはあるだろうか（証明が簡単になるとか新しい見通しが立つとか）。

・フーリエ解析の一般化？を楕円関数でできるか？あれはもっと特別な性質を用いている？三角関数特有の議論だろうか？

・フーリエ級数は、収束性などの議論にルベーグ積分論が要る。

・虚数乗法をもつ楕円曲線のつくりかたについて。アーベルが次を示した：楕円積分がK'(k)/K(k)=(a+b√n)/(c+d√n)（a,b,c,d,nは整数）の関係を満たすなら,kは整数係数代数方程式の根。とくにK'(k)/K(k)=√rのとき、k=√λ(i√r).これはすごい。ヤコビの楕円関数の周期が4K,2iKだから、これで虚数乗法をつくることができる。j不変量との関係から、類数１なら整数係数でできるだろうか？さらなる結果：このときＫとＫ’はΓ関数の式で表すことができる。セルバーグとChowlaが証明したという。名を残す数学者は何でもしているなあ。

・ベータ関数やガンマ関数の積分や、ガウス積分を一般化するには？

・素数を有限個に制限した環では、拡大後も単項イデアルしかない。素数が３のみの世界では３＝（1/2）(１＋√ー５)（１－√ー５）、３と２が素数の世界でも２１＝４²＋５より３＝（１／７）（４＋√－５）（４－√ー５）３と２と７が素数の世界にしても６９＝７²＋２²・５より３＝(1/23)(７＋２√－５)(７－２√ー５)というようにうまく単数をとって分解できる。

・位相空間に群の作用？を入れて商？（群の作用に同値関係を入れて？）をとったときの基本群は？　基本領域だけ切り取った図形の基本群にもよるか。

・電磁気学が結び目理論へつながったという話は知らなかった。

・いろいろと虚数乗法をもつ楕円曲線を得る方法を手に入れつつあるんだが、標準形間の変形が面倒だな。また、楕円積分とワイエルシュトラス標準形の積分の関係式も得たい。レムニスケート周率との関係も見たい。変換をまとめたものなどをつくっておくと、少しは見る人の助けにもなろう。やろうかな。変換は数値計算面でも大事だからな。maximaはヤコビ楕円関数が計算できるので変換して℘が計算できる、などなど。

・いつも、知りたいことに向かって真っ直ぐ勉強しているつもりなのに、周辺知識がじわじわ付いてくる不思議。このじわじわ感が数学やってて一番好きな瞬間かも。

・最近は代数的整数がじわじわ分かってきたので嬉しい。なぜいつも最初に習ったときはてんで理解できないのか（その上、その時はまあまあわかったつもりでいる！！）。

8/8メモ

日記メモ

ゾロ目の日だ。

・「基本群とラプラシアン」というpdfを見つけた。勝手に予測変換に出てきたんだが、おもしろそう。ゼータ関数と作用素がどうとかの話らしい。あのおもしろそうなセルバーグゼータが出てくる。

・グラフの正則関数の話と、リーマン面が代数的整数の類似でどうのこうのの話を進めたいな。

・基本群がとても簡単な群（自明群じゃない！！）になる位相空間ってあるのかな。絶対ガロア群が簡素な体を考えようとしたら無理だったから考えてみている。

・wikipediaより：すべての群は、2 次元（もしくはより高次元の）連結なCW複体として実現することができる。上記で注意したように、自由群でさえ、1-次元のCW複体の基本群として現れる（つまりグラフである）。すべての有限表示された群は、4 次元（もしくは、それ以上の高次元の）コンパクトな連結微分可能多様体の基本群として実現できる。しかし、低次元の多様体の基本群として実現されるには、厳しい制限がある。例えば、ランク 4 もしくはそれ以上の自由アーベル群は、次元が 3 以下の多様体の基本群としては実現できない。

・cw複体ってなんだ。

・ブーケの基本群は自由群。群準同型は空間の連続写像を誘導するとかなんとか。こうやって自由群に関係式を入れて群を作れないか？任意までは行ってない？被覆の復習やったらわかりそうな予感。

・たとえばℤの、２だけが分岐する拡大があったとして、ℤに分母に２の冪を許した環の拡大は不分岐になるんだろうか。そしたら最大不分岐拡大は自明でなくなるのだろうか。

・最大不分岐アーベル拡大のガロア群と、イデアル類群は同型。これっていつでも成り立つっけ。

・局所環の拡大、判別式？は定義できる？必ずｐ冪になる？不分岐拡大って存在しない？そんなはずは。

・無知だな～。何もわかってないな・・・。言葉知ってるぶん勉強はできるのでいいか。

・素数を取り除くとか１つ２つから始めるって考え方を学べたのは大きい。こんっっっなに簡単な操作なのになんで自分では考えてみなかったんだろ？

・ℤ[1/2]みたいなの

 

・基本群が{1,-1}となる例？数直線Ｒに同値関係～を、x~y:⇐⇒|x|=|y|として入れて、Ｒ/~で商位相空間を考える。被覆のときのイメージで、変換群と基本領域の話だってことかと考えた。

・これがもし合ってたら他にもいろいろ考えられるな。

 

・このように被覆にもちこむなら、シートの数の一意性があるから、固定点のある写像ではだめだ。－１倍や1/xのようなね。

・楕円関数について考えてるときは、だいたい竹内端三を読む。やっぱり、ある程度のことがまとまって載ってる教科書って便利だな。

・複素数の楕円曲線と、楕円関数の周期平行四辺形の対応がわからない。どこがどこに対応？

・楕円積分が、曲線→平行四辺形の対応を与えるかな。

・積分は、曲線上の関数というより曲線上の「道」のホモトピー同値類の関数かな。おー位相幾何と被覆おもしろい。

・複素解析では、被覆は微分方程式などで実現する。グラフ調和関数や簡単な位相空間上なら、積分はよりシンプルな操作にとってかわられるのだろうか。一意化全般は？

・リーマン面の基本群と一意化の問題は難しいけど、簡単な類似をつくって考察できれば簡単かも。

・アイゼンシュタイン級数なども簡単な類似物をつくれるなら、世界がほんとに広がるなあ。

・メリン変換を知った。指数関数のメリン変換はΓ関数だとか、冪級数で変数を指数関数に置き換えたのをメリン変換するとディリクレ級数になるとか。項別積分をすれば分かるか。三角関数のメリン変換でゼータの関数等式が導かれる？らしい。すごい。

・スキームの貼り合わせってなんだ。グラフをペタペタ簡単に繋げられるように、スキームもどんどんいじれるんだろうか。

・数論的ゼータ関数：スキームのゼータ関数。

 ・ℤのアフィンスキームだって、点を取り除いたり、付け足したり、部分空間を考えてあれこれとかできる。そういう操作が切り貼りとかに繋がっていくのでは？

・周期と曲線の対応は、sinの例で見ると簡単。arcsin(楕円積分に対応)は[-1,1]→ℝの関数ともいえるが、まず円の上下を考慮して{a,b}(要素２個の集合)×[-1,1]上の関数、多価を考慮してℤ×{a,b}×[-1,1]→ℝと見るべき。これはさっきのホモトピーの話の類似だ。しかしarcsinの逆：sinはただのℝ→[-1,1]と見てしまうこともできると。これも℘と同じ。

・圏論を食わず嫌いするのはやめようかな。位相幾何にはよく出てくるみたいだ。

・数論的位相幾何学入門というpdfを見つけた。数論と結び目理論の類似がのっているだけでなく、電磁気学との類似（類体論に電磁双対性？が対応）も書かれている。すごい。こんなに類似があったのか。素数と素な結び目も、ただ似てるねでなくて、対象や概念の対応をこまかく書いてある。ただ似てるだけかと思っていたので衝撃。