メモは大事だなあ。 ・楕円曲線の有理点について。有理点Ｐがひとつあったら、加法をつかって２Ｐ、３Ｐ、・・・と有理点を作れるのだった。Ｐがｎ等分点ｎＰ＝∞でなければ、無限に有理点を作れるはず。さらに℘関数での一意化を考えると、ぐるっと廻ってくる…

数学の自由研究、自分が高校生のときにもあったらなあと思います。絶対おもしろかったのになあ。 テーマの思いつかない中高生の方が見てくれることを期待して、自分なりに面白そうなテーマを考えてみました。思いつきしだい追加します。 ・巡回する数列にな…

８／８記号を間違えていたので修正しました。 やっと、イデアル類群っぽくなおかつとても簡単なやつを見つけた。 x² + 5y²と書ける数について考える。 たとえば３は書けない。２も書けないが、２×３の６は１²＋５・１²と書ける。３²=９も９＝２²＋５・１² と…

・A=2π/19として、cosAcos(2³A)cos(2⁶A)=Σ(1/4)cos((1±2³±2⁶)A) ・++はcos3A,+-はcos2A,-+はcos0,--はcos5A. ・cos2*2³A=cos3A, cos2*2⁶A=cos5A となっている。cos2*1A=cos2Aだな。 ・cos(2³*(1+2³+2⁶)A)=cos((2³+2⁶+2⁹)A)＝cos((2³+2⁶-1)A)=cos((1-2³-2⁶)A)…

いろいろ考えてる過程で、使えるかなーと考えた定理。自明かも。 ただし、和は、符号の組み合わせ全体をわたる和。 例としてn=3のときを確認する。 の符号の組み合わせは、＋＋、＋－、－＋、－－の４通りだから、 ＜証明＞ ただし、和は、符号の組み合わせ…

メモです。 まず２の分解法則。 １．判別式Ｄが２で割れるなら分岐する。 ２．判別式ＤがＤ≡１（mod8）なら完全分解する。 ３．判別式ＤがＤ≡５（mod8）なら惰性する。 次に奇素数ｐ。 １．Ｄがｐで割れるなら分岐する。 ２．（Ｄ／ｐ）＝１なら完全分解する…

８月に入った。 ・最近気になってることがいくつか。 ・まずグラフ上の関数としての調和関数。 ・それから、グラフ理論は辺を開集合におきかえれば位相空間論に含まれるかどうか。ベッチ数とか。このへん２つの、直感的な類似とか有限次元での類似とかは大事…

たのしい！ 互いに素が明らかな場合には類数の議論がメインとなる。その場合はたとえば「類数とはこんなもの」なんて紹介するときにいいんだが。しかし不定方程式型だと、代数的整数でないふつうの整数の世界でも互いに素の証明は面倒だからな。細かい因数の…

気付いたかもしれない。 ・７分体ℚ(ζ)を例にとる。ガロア群について、ζ→ζ＾３は生成元になるのでそいつをσとしとく。今７分体から、σ＾｛偶数｝の置換（平方剰余の部分群）で不変しかしσでは不変でない数を何でもとってくる。これはどんな数かというと、まず…

・メモがメモとしての機能を果たしてきた。 ・ツイッターは高校までで理解できる結果ならおもしろいのがたくさん流れてきて考える題材になる。もっと大学数学も出てこいや。 ・自分がやるという手もある。代数的整数論とかのおもしろい話、たくさんあるんで…

直交曲線族の話を久々に見かけた。こういうの↓↓ １つ１つの楕円は、全ての紫の放物線と直交する、逆も然り。実際にはパラメーターを動かして無限個の曲線を考える。式でいうと、放物線y=ax^2と楕円(x^2)/2+y^2=bのペア。 これ、複素解析の、正則関数の等角写…

の判別式は。これはいわゆる解の差積の二乗で、本当は深いが今は深入りしない。３次方程式のガロア群がアーベルになるのは、判別式が平方な有理数になるときだという。そのときに根が円分体に含まれることを具体例で見る。最終目標は一般の場合に解決するこ…

初項０で、漸化式がである数列を考える。 ０、１、２、５、２６、６７７・・・という感じ これの、２で割った余りだけ追うと、 ０、１、０、１、０、１、・・・ で、周期２で巡回する。まだ普通だけど、次は２²＝４で割った余りを追うと、 ０、１、２、１、…

・本格的勉強はちょっと疲れて、前に気になったしょうもない問題を計算している。ℤ/nℤでの力学系の話。なかなか楽しい。 ・類数が３でわれるかと、楕円曲線の整数解に関係があると知る。類数は高級なイメージだけど、とてもシンプルな問題にも関係しているな…

・円分体のガロア群がℤ/nℤ×と同型なのは、類体論の存在定理に出てくる一般化イデアル類群と同型。 ・類体論の主張＝「存在定理」＆「同型定理」、らしい。 ・もし円分を一般化して関数でのアーベル拡大の生成問題をやるなら、ガロア群がこれになるようにする…

。 ・多くの解説で、オイラーの公式はマクローリン展開を用いて証明されている。しかしそれでいいのだろうか。最も美しいと謳われる公式の証明として相応しいだろうかということだ。 ・オイラーの公式の一般的な解説はこんな感じ：「オイラーの公式、最も美…

・類体論がわかりかけてきたかもしれない。 ・円分体はただℚの最大アーベル拡大というだけでなく、各ｎ等分体がray class fieldといういい性質の体。 ・類体論は、ray class fieldの存在定理を含む。 ・ちなみに、リーマン面と一変数関数体に類似がある。 ・…

sin(π/3)=√3/2, sin(π/4)=√2/2, マニアックなのではsin(π/10)=(-1+√5)/4, ...と、三角関数の値には素数ｐの平方根が現れ、さらにおもしろいことに、どの平方根が来るかは、分母の素因数分解に関係しているように思われる（４＝２×２の２、１０＝２×５の５）…

例はたくさん知っているほどよい武器になる。知っている体を増やしたい。今回は有限体Ｆ_pの有理関数体を考えたい。これの拡大と自己同型までやりたい。有理関数体は文字通り、Ｆｐ係数多項式の商で、分母が零でないもの。さあ拡大を考えよう。基礎体を拡大…

・分母分子が最高次１多項式な有理式を合成しても、できた合成関数が分母分子最高次１（に、約分でできる）とは限らない。 ・分母分子の次数の差が１ならどうか。分母が最高次１で、分子より１次数が低いとする。計算すると、合成関数の分母の次数は、合成す…

数学を勉強したり何かテーマを考えているとき、すごく調子がよくて楽しいなあというときもあれば、行き詰まって苦しいときもある。この違いは何だろう。 １つ経験から言えることとして、これは目標やモチベーションによって変わるようだ。 例えば、今、場の…

ｐを変換したら℘が出せた。すごい！ ・楕円関数が℘と℘'で表せることの証明は知ってたんだけど、技巧的に感じて、あんまり納得していなかった。でも、うまい考え方を思いついた。要は有理関数といっしょなのかも。 ポイントは結局、零点、極は有限ということ…

箇条書き。 ・世の中には、小さい頃から数で遊ぶのが大好きだったり、学生時代突如数学にどっぷりハマりだして数学者に、みたいな人がいる。数学は本当は、人を強烈に惹きつける魅力があるはず。それは素朴な、探検発見の興奮だと思う。 ・気付いた法則性や…

有限体(mod素数)が大好きだ。有限体はなぜこんなに素朴におもしろいんだろう。逆元を求める計算からハマったのだと思う。ただ計算するだけで楽しい。 そんな計算の中でも一番楽しいと思うのが原始根を求めることだ。原始根は例えばmod５なら２のこと（３も）…

三角関数の加法定理を、微分方程式から証明します。 この式のzをx,yの関数として求めればよい。 はの変化で不変。従ってとおいてよい。 のとき、よりであり、 これはをで表しており、加法定理に他ならない。 久々にしっかり計算して気持ちがいい。

7/13 やろうと思ったこと ・リーマン面。楕円関数論の、周期一致なら代数関係、とかは、トーラスの上の関数と思えばわかったりするのだろうか。特に、ｎ倍角や虚数乗法は有限次元の被覆として考えられるのだろうか。 ・合成に可換な有理式の族を見つけるプロ…

7/12 巷の数学の啓蒙書にはよく、「楕円曲線のゼータ関数」が出てくる。それは有限体上の楕円曲線の話で定義されている。しかし、最近知った話によると、これは「ガロア群の表現のゼータ関数」として理解されるらしい。これと同様のことはいくつか起きて、「…

7/11今日は楕円関数を紹介します。楕円関数の理論はとても美しく整っていて、複素関数論の格好の応用でもあります。 まず「楕円関数」とは、複素平面上の二重周期関数のことです。どこが楕円かというと、楕円積分（楕円の弧長を求める積分）の逆関数などに現…